Ovale di Cassini

Alcuni ovali di Cassini aventi i fuochi in (-1, 0) e (1, 0). Le curve sono caratterizzate dai valori di b².

In matematica, un ovale di Cassini è un luogo geometrico di punti $P$ del piano tali che, considerati due punti del piano fissati $F_{1}$ e $F_{2}$ è costante il prodotto della distanza di $P$ da $F_{1}$ per la distanza di $P$ da $F_{2} .$ Formalmente, se denotiamo con $d (A, B)$ la distanza tra due punti $A$ e $B$ del piano, i punti di un ovale di Cassini soddisfano l'equazione:

d (F_{1}, P) d (F_{2}, P) = b^{2}

nella quale $b$ è un reale positivo.

I punti $F_{1}$ e $F_{2}$ sono detti fuochi dell'ovale.

Gli ovali di Cassini prendono il loro nome dall'astronomo Giovanni Domenico Cassini; talora sono chiamati ovali cassiniani.

Se consideriamo che i fuochi siano $F_{1} = (a, 0)$ e $F_{2} = (- a, 0),$ per un reale positivo $a,$ i punti dell'ovale soddisfano l'equazione:

((x - a)^{2} + y^{2}) ((x + a)^{2} + y^{2}) = b^{4} .

Equazioni equivalenti in coordinate cartesiane sono:

(x^{2} + y^{2})^{2} - 2 a^{2} (x^{2} - y^{2}) + a^{4} = b^{4}

e

(x^{2} + y^{2} + a^{2})^{2} - 4 a^{2} x^{2} = b^{4} .

Un'equazione equivalente in coordinate polari è

r^{4} - 2 a^{2} r^{2} \cos 2 θ = b^{4} - a^{4} .

La forma dell'ovale dipende dal rapporto $b / a .$ Quando $b / a$ è maggiore di 1, il luogo è costituito da un singolo cappio connesso. Quando $b / a$ è inferiore a 1, il luogo è costituito da due cappi sconnessi. Quando $b / a = 1,$ il luogo si riduce a una lemniscata.

Se $a = b,$ la curva è razionale, ma in generale l'ovale di Cassini presenta una coppia di punti doppi all'infinito nel piano proiettivo complesso, per $x = \pm i,$ $y = 1$ e $z = 0$ e nessun'altra singolarità; essa quindi è una curva algebrica piana di genere 1, e quindi è birazionalmente equivalente a una curva ellittica.

Applicando un'omotetia, più precisamente sostituendo $a x$ con $x$ e $a y$ con $y,$ otteniamo la famiglia di curve a un parametro caratterizzate dell'equazione

(x^{2} + y^{2} + 1)^{2} - 4 x^{2} = b^{4}

che ha come j-invariante

j = 16 \frac{(b^{8} - 16 b^{4} + 16)^{3}}{b^{16} (1 - b^{4})} .

Si osservi che la definizione dell'ovale di Cassini si può comparare con la definizione di ellisse, curva per la quale è costante, invece che il prodotto delle distanze, la somma delle distanze

d (F_{1}, P) + d (F_{2}, P) .

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