Ottica matriciale

LTemplate:'ottica matriciale è un particolare formalismo che permette di ricavare la traiettoria di un raggio luminoso (nelle approssimazioni dell'ottica geometrica) all'interno di un sistema ottico centrato; più nel dettaglio il raggio luminoso viene schematizzato come un vettore colonna a due componenti non omogenee: la prima rappresenta la distanza del raggio dall'asse ottico del sistema, la seconda invece la sua inclinazione rispetto allo stesso asse.

Notazione

Se si indica con z la distanza misurata sull'asse ottico, in ottica matriciale un raggio luminoso viene scritto come

$\overrightarrow{r}(z)=\left(\begin{array}{c}r(z)\\ \frac{dr}{dz}(z)\end{array}\right)$

Consideriamo poi un qualsiasi elemento ottico attraversato dal raggio ed indichiamo con ${\overrightarrow{r}}_i(z)$ e ${\overrightarrow{r}}_o(z)$ rispettivamente il raggio in ingresso e in uscita dall'elemento considerato, l'ottica geometrica permette di ricavare ${\overrightarrow{r}}_o(z)$ a partire da ${\overrightarrow{r}}_i(z)$ con una relazione del tipo

${\overrightarrow{r}}_o(z)=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right){\overrightarrow{r}}_i(z)$

dove la matrice 2$\times$2 ABCD è una caratteristica dell'elemento ottico considerato. Con questo formalismo la propagazione attraverso due elementi ottici consecutivi caratterizzati da matrici M${}_1$ e M${}_2$ è data da un unico elemento descritto dalla matrice prodotto M${}_1$ M${}_2$.

Esempi notevoli

Mezzo omogeneo di spessore d

$M=\left(\begin{array}{cc}1& d\\ 0& 1\end{array}\right)$

Interfaccia piana tra due dielettrici con indici di rifrazione $n_1$ e $n_2$

$M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{n_1}{n_2}\end{array}\right)$

Interfaccia curva (raggio di curvatura $R$) tra due dielettrici con indici di rifrazione $n_1$ e $n_2$

$M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{n_1-n_2}{n_{2}R}& \frac{n_1}{n_2}\end{array}\right)$

Lente sottile di focale $f$ (attenzione: $f<0$ se la lente è divergente)

$M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{f}& 1\end{array}\right)$

Due lenti di focali $f_1$ e $f_2$ in configurazione telescopica

$M=\left(\begin{array}{cc}-\frac{f_2}{f_1}& f_1+f_2\\ 0& -\frac{f_1}{f_2}\end{array}\right)$

Fibra ottica o lente GRIN con indice di rifrazione graduato secondo la legge $n=n_0-\frac{1}{2}{n}_2{r}^2$ e pitch $\frac{\phi }{2\pi }$

$M=\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & \frac{\sin \phi }{\sqrt{n_0{n}_2}}\\ -\frac{\sin \phi }{\sqrt{n_0{n}_2}}& \cos \phi \end{array}\right)$

Con argomenti termodinamici si può dimostrare una proprietà generale delle matrici ABCD dell'ottica geometrica e cioè che il determinante di tali matrici $AD-BC$ è sempre uguale al rapporto $\frac{n_1}{n_2}$ fra gli indici di rifrazione dei mezzi di ingresso e uscita dell'elemento ottico considerato.