Numero primo di Eisenstein

Rappresentazione di alcuni numeri primi di Eisenstein.

In matematica, un primo di Eisenstein è un intero di Eisenstein

$z=a+b\omega$

(dove $\omega =e^{\frac{2i\pi }{3}}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ è una radice terza dell'unità)

che è irriducibile (o equivalentemente primo) nel senso della teoria degli anelli: i suoi soli divisori nell'anello sono le unità (1, 1+ω, ω, -1, -1-ω, -ω) z stesso e il prodotto di z per un'unità.

Prendono il nome del matematico tedesco Ferdinand Gotthold Eisenstein.

I primi di Eisenstein sono precisamente quegli interi di Eisenstein z che soddisfano una delle seguenti proprietà (che si escludono a vicenda):

• z è un numero primo (naturale) nella forma 3n-1 moltiplicato per un'unità dell'anello;
• z è un divisore di un numero primo nella forma 3n+1;
• z è prodotto di un'unità e di 1-ω.

Le ultime due condizioni possono essere unificate richiedendo che, se $z=a+b\omega$, allora $a^2-ab+b^2$ è un numero primo.

I più piccoli numeri primi che sono anche primi di Eisenstein sono:

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101,...

Alcuni primi di Eisenstein non reali sono:

$2+\omega ,3+\omega ,4+\omega ,5+2\omega ,6+\omega ,7+\omega ,7+3\omega$

A settembre 2019, il numero primo di Eisenstein reale più grande è 10223 × 2^31172165 + 1, scoperto da Péter Szabolcs col progetto PrimeGrid, che è il nono numero primo più grande conosciuto. I numeri primi più grandi di questo sono primi di Mersenne, che (a parte 3) sono congrui a 1 modulo 3, mentre i primi di Eisenstein reali sono congrui a 2 modulo 3.

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