Numero di Woodall

In matematica si chiamano numeri di Woodall e si indicano con $W_{n}$ i numeri naturali di forma

n \cdot 2^{n} - 1

La sequenza

Furono studiati per la prima volta da Allan J. C. Cunningham e H. J. Woodall, due matematici inglesi, nel 1917, grazie alle osservazioni di James Cullen sui numeri di Cullen, similmente definiti. I primi numeri di Woodall sono:

W_{1} = 1

W_{2} = 7

W_{3} = 23

W_{4} = 63

W_{5} = 159

W_{6} = 383

W_{7} = 895

(sequenza A003216 dell'OEIS).

I primi di Woodall

I numeri di Woodall che sono anche primi vengono chiamati numeri primi di Woodall. I primi valori di $n$ che rendono primi i numeri di Woodall sono $2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384$ (sequenza A002234 dell'OEIS). La sequenza dei numeri primi di Woodall è invece

W_{p 1} = 7

W_{p 2} = 23

W_{p 3} = 383

W_{p 4} = 32212254719 \approx 3.221 \cdot 1 0^{10}

W_{p 5} = 2833419889721787128217599 \approx 2.833 \cdot 1 0^{24}

(sequenza A050918 dell'OEIS).

Proprietà

I numeri di Woodall hanno diverse proprietà di divisibilità. Ad esempio, se $p$ è un numero primo, allora divide

W_{\frac{p + 1}{2}}

se il simbolo di Jacobi $(\frac{p}{2})$ è $+ 1$

e divide

W_{\frac{3 p - 1}{2}}

se il simbolo di Jacobi $(\frac{p}{2})$ è $- 1$

Esiste anche una congettura che sostiene vi siano infiniti numeri primi di Woodall. A gennaio 2019 il più grande conosciuto è generato da $n = 17016602$ ed è un numero di 5122515 cifre scoperto da Diego Bertolotti nell'ambito del progetto di calcolo distribuito PrimeGrid.