Numero di Liouville

Un numero di Liouville è un numero reale che può essere approssimato "molto bene" con una successione di numeri razionali.

Formalmente, un numero $x$ è di Liouville se per ogni numero intero positivo $n$ esistono degli interi $p$ e $q$ con $q>1$ tali che

$0<|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n}$.

Una definizione equivalente è che per ogni $n$ esistono infinite coppie $(p,q)$ di interi che verificano questa proprietà.

Si dimostra facilmente che ogni numero di Liouville è irrazionale. Nel 1844 Joseph Liouville dimostrò che i numeri che oggi portano il suo nome sono non solo irrazionali, ma anche trascendenti.

Si dimostra che i numeri di Liouville nell'intervallo $[0,1]$ sono non numerabili, ma hanno misura nulla. Questo implica che non tutti i numeri trascendenti sono di Liouville, e che anzi questa classe di numeri è molto piccola rispetto all'insieme dei numeri trascendenti. Esempi di numeri trascendenti ma non di Liouville sono il numero di Nepero ($e$) e pi greco ($\pi$).

La costante di Liouville, che, come non è difficile dimostrare, è un esempio di numero di Liouville, è il primo numero del quale è stata dimostrata la trascendenza.

Irrazionalità

Supponiamo che sia $x=a/b$, con $a$ e $b$ interi, e sia $n$ tale che $2^{n-1}>b$. Allora per ogni coppia di interi $p$ e $q$ tali che $q>1$ e $p/q\ne a/b$ si ha

$|x-\frac{p}{q}|=|\frac{a}{b}-\frac{p}{q}|=\left|\frac{aq-bp}{bq}\right|\ge \frac{1}{bq}\ge \frac{1}{2^{n-1}q}\ge \frac{1}{q^n}$

contraddicendo la proprietà usata per definire i numeri di Liouville.

Trascendenza

Ogni numero di Liouville è trascendente, come fu dimostrato da Liouville nel 1844 (teorema di Liouville), sebbene l'inverso non sia sempre vero. La dimostrazione è basata sul lemma seguente.

Lemma. Per ogni algebrico irrazionale $\alpha$ di grado n (che risolve cioè un'equazione di grado n a coefficienti interi, ma non equazioni di grado inferiore), esiste una costante A tale che per ogni coppia di interi p, q con q > 0

$|\alpha -\frac{p}{q}|>\frac{A}{q^n}$

Dimostrazione del lemma.

Sia P(x) il polinomio minimo di α (cioè monico e di grado minimo tale che $P(\alpha )=0$ ). Poiché i polinomi sono lipschitziani in un intervallo limitato, esiste M > 0 tale che per ogni coppia a, b si ha

$|P(a)-P(b)|<M|a-b|$

Quindi in particolare

$M|\alpha -\frac{p}{q}|>|P(\alpha )-P\left(\frac{p}{q}\right)|=\left|P\left(\frac{p}{q}\right)\right|$

$|\alpha -\frac{p}{q}|>\frac{1}{M}\left|P\left(\frac{p}{q}\right)\right|$

Osserviamo ora che $P(p/q)\ne 0$, in quanto altrimenti esisterebbe un altro polinomio a coefficienti razionali di grado minore che ha ancora $\alpha$ come radice, contro le ipotesi. Da ciò segue anche la diseguaglianza $\left|P\left(\frac{p}{q}\right)\right|\ge \frac{1}{q^n}$, perché si possono ridurre tutti i termini di P(p/q), $a_i\frac{p^i}{q^i}$ allo stesso denominatore qⁿ, e ciò dimostra il lemma.

Dimostrazione della trascendenza dei numeri di Liouville. Supponiamo ora che il numero di Liouville $\alpha$ sia algebrico di grado n, sia A la costante data dal lemma e r tale che $\frac{1}{2^r}<A$. Se m=r+n, allora, per la definizione di numero di Liouville, si ha

$|\alpha -\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^m}=\frac{1}{q^n{q}^r}<\frac{A}{q^n}$

il che contraddice l'algebricità di $\alpha$, per il lemma precedente e l'arbitrarietà di A.

La costante di Liouville

Un particolare numero di Liouville è la cosiddetta costante di Liouville. Essa è pari a

$c=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}10^{-k!}=0,110001000000000000000001000...$

È facile dimostrare che essa è un numero di Liouville: ponendo infatti

$p_n=\sum _{k=1}^{n}10^{n!-k!}=10^{n!}\sum _{k=1}^{n}10^{-k!},q_n=10^{n!}$

(che sono numeri interi) si ottiene

$|c-\frac{p_n}{q_n}|=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}10^{-k!}-10^{n!}\frac{\sum _{k=1}^{n}10^{-k!}}{10^{n!}}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}10^{-k!}-\sum _{k=1}^{n}10^{-k!}=\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}10^{-k!}<\frac{2}{10^{(n+1)!}}\le \frac{1}{10^{n\cdot n!}}=\frac{1}{q_n^n}$

e quindi c verifica la definizione di numero di Liouville, in quanto questa relazione vale per ogni intero positivo n.

Bibliografia

• Enrico Giusti, Analisi matematica 1, Giusti, Torino 1988, ISBN 8833956849

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