Numero di Fermat

Un numero di Fermat, chiamato così dal matematico francese Pierre de Fermat, è un numero intero esprimibile come:

$F_n=2^{2^n}+1,$

con $n$ intero non negativo.

Numeri primi di Fermat

Fermat credeva, erroneamente, che tutti i numeri della forma indicata sopra fossero numeri primi. In effetti, questo è vero per i primi cinque:

$F_0=2^{2^0}+1=3$

$F_1=2^{2^1}+1=5$

$F_2=2^{2^2}+1=17$

$F_3=2^{2^3}+1=257$

$F_4=2^{2^4}+1=65537$

Ma nel 1732 Eulero dimostrò che Fermat si sbagliava, dando la fattorizzazione di F₅:

$F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417.$

Nel 1770 dimostrò anche che ogni eventuale divisore di F_n è della forma $K{2}^{n+1}+1$, risultato che venne migliorato da Lucas nel 1878 con la considerazione che tali divisori devono anche essere del tipo $L{2}^{n+2}+1$, per gli $F_n$ con $n>1$, dove $K$ e $L$ sono interi positivi.

Nel caso di $F_5$, per $L=1,2,3,4,5$ troviamo rispettivamente 129, 257, 385, 513, 641; di questi, solo 257 e 641 sono primi, e 641 effettivamente divide $F_5$.

Non è stato trovato nessun altro numero di Fermat primo, e anzi si ritiene molto probabile che i numeri di Fermat primi siano in numero finito.

A febbraio 2015, le uniche altre fattorizzazioni complete di numeri di Fermat sono le seguenti:

• $F_6=274177\cdot 67280421310721$ (Clausen, Landry e Le Lasseur, 1880)
• $F_7=59649589127497217\cdot 5704689200685129054721$ (Morrison e Brillhart, 1970)
• $F_8=1238926361552897\cdot P62$ (Brent e Pollard, 1980)
• $F_9=2424833\cdot 7455602825647884208337395736200454918783366342657\cdot P99$ (Western, 1903 / Lenstra, Manasse e altri, 1990)
• $F_{10}=45592577\cdot 6487031809\cdot 4659775785220018543264560743076778192897\cdot P252$ (Selfridge, 1953 / Brillhart, 1962 / Brent, 1995)
• $F_{11}=319489\cdot 974849\cdot 167988556341760475137\cdot 3560841906445833920513\cdot P564$ (Cunningham, 1899 / Brent e Morain, 1988)

dove $Px$ indica un fattore primo di $x$ cifre.

Si può comunque dimostrare (in base al test di primalità noto come test di Pépin) che $F_n$ è primo se e solo se $3^{(F_n-1)/2}\equiv -1(\mathrm{mod}{F}_n).$

I numeri di Fermat appaiono in contesti a prima vista completamente non correlati. Ad esempio, Gauss dimostrò che si possono fare le costruzioni con riga e compasso dei poligoni regolari con $n$ lati se e solo se $n$ è il prodotto di una potenza di 2 per un prodotto finito di numeri di Fermat primi e distinti.

Nel luglio 2014 Raymond Ottusch ha trovato un divisore primo di $F_{3329780}$. Questo numero primo possiede ben 1002367 cifre, ed è

$193\cdot 2^{3329782}+1.$

Al momento della dimostrazione, $F_{3329780}$ diventava quindi il più grande numero di Fermat di cui fosse conosciuto almeno un fattore primo e di conseguenza la non primalità.

Il 18 luglio 2009 il GIMPS ha annunciato la scoperta di un divisore di $F_{19}$:

$8962167624028624126082526703\cdot 2^{22}+1$ divide $F_{19}$.

Il 13 febbraio 2015 PrimeGrid ha annunciato di aver scoperto un divisore primo di $F_{2662088}$:

$267\cdot 2^{2662090}+1.$

In un sistema numerico binario, tutti i numeri di Fermat sono palindromi (3=11; 5=101; 17=10001; 65537=10000000000000001), e tutti i primi di Fermat sono quindi palindromi primi.

Proprietà

• I numeri di Fermat soddisfano le seguenti relazioni di ricorrenza valide per n≥2, che possono essere provate tramite induzione:

$F_n=(F_{n-1}-1{)}^2+1$

$F_n=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}{F}_0\cdots F_{n-2}$

$F_n=F_{n-1}^2-2(F_{n-2}-1{)}^2$

$F_n=F_0\cdots F_{n-1}+2.$

Dall'ultima relazione si deduce il cosiddetto teorema di Goldbach: ogni coppia di numeri di Fermat è coprima, ovvero nessun numero primo divide due numeri di Fermat diversi. Infatti, se $F_i$ e $F_j$ (con $i<j$) avessero un fattore comune $a>1$, questo dividerebbe sia

$F_0\cdots F_{j-1}$

che

$F_j=F_0\cdots F_{j-1}+2$

e quindi $a$ dividerebbe 2, ossia $a=2$, il che è impossibile perché tutti i numeri di Fermat sono dispari. Quindi due numeri di Fermat sono sempre coprimi.

Da questo si può dimostrare il teorema dell'infinità dei numeri primi: poiché esistono infiniti numeri di Fermat, e ogni numero primo ne divide al più 1, devono esistere infiniti primi.

• Nessun numero di Fermat può essere espresso come somma di due numeri primi, ad eccezione di $F_1=5=2+3$; questo può essere dimostrato osservando che, essendo $F_n$ sempre dispari, per essere somma di due primi dovrebbe essere primo il numero $F_n-2=2^{2^n}-1$, che però è sempre divisibile per 3.
• Nessun numero di Fermat può essere espresso come differenza di due potenze $p$-esime, dove $p$ è un primo dispari.
• La somma dei reciproci di tutti i numeri di Fermat è irrazionale. (Solomon W. Golomb, 1963)

Note

4.^ Per la 4° relazione di ricorrenza riportata sopra, $F_n-2$ è sempre divisibile non soltanto per 3 ma per $F_{n-1}!$ e quindi per ogni $F_x$ con $x<n$.

Voci correlate

• Fermat Search - Progetto di ricerca dei divisori dei Numeri di Fermat per trovare un numero primo più grande.
• Numero primo di Mersenne
• Costruzione di poligoni regolari
• The Prime Pages

Collegamenti esterni

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