Moto ellittico

L'esempio più noto di moto ellittico è quello dei pianeti del sistema Solare attorno al Sole. Nell'immagine sono indicati i parametri caratteristici dell'orbita, con i nomi degli apsidi.

In cinematica, il moto ellittico è il moto di un corpo, o di un punto materiale, lungo una traiettoria ellittica. In generale, un corpo tende ad assumere una traiettoria ellittica quando è sottoposto a una forza centrale.

Analisi del moto e derivazione della traiettoria

Definendo il momento meccanico specifico il vettore:

$𝐜=𝐫\times 𝐚$

Nel caso di moto centrale, si ha che $𝐫$ e $𝐚$ risultano paralleli, quindi $𝐜=0$. Poiché il polo rispetto al quale è calcolato $𝐜$ coincide con il centro di massa, il quale può essere supposto fermo, si ha che il momento meccanico specifico è pari alla derivata prima rispetto al tempo del momento angolare specifico $𝐡$:

$\frac{\mathrm{d}𝐡}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(𝐫\times 𝐯)=𝐜=0$

dunque si ha che $𝐡$ è costante, in accordo con la seconda legge di Keplero. La velocità areolare $\dot{𝐀}$ è pari a:

$\dot{𝐀}=\frac{𝐫\times 𝐯}{2}=\frac{𝐫\times (\mathit{\omega }\times 𝐫)}{2}=\frac{(𝐫\cdot 𝐫)\mathit{\omega }-\cancel{(\mathit{\omega }\cdot 𝐫)𝐫}}{2}=\frac{r^2\mathit{\omega }}{2}$

dove $\mathit{\omega }$ è la velocità angolare.

Sapendo che in coordinate polari si ha:

$\begin{array}{cc}& \theta =\arctan \frac{y}{x},r^2=x^2+y^2;\\ & \dot{\theta }=\omega =\frac{1}{1+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}\left(\frac{x\dot{y}-\dot{x}y}{x^2}\right)=\frac{\cancel{x^2}}{x^2+y^2}\left(\frac{x\dot{y}-\dot{x}y}{\cancel{x^2}}\right)=\frac{x\dot{y}-\dot{x}y}{x^2+y^2}\\ & r^2\omega =\frac{x\dot{y}-\dot{x}y}{\cancel{(x^2+y^2)}}\cancel{(x^2+y^2)}=x\dot{y}-\dot{x}y\\ \end{array}$

mentre l'ellisse in coordinate polari è:

$\{\begin{array}{cc}& x=a\cos \theta \\ & y=b\sin \theta \\ \end{array}⟹\{\begin{array}{cc}& \dot{x}=-a\omega \sin \theta \\ & \dot{y}=b\omega \cos \theta \\ \end{array}$

Pertanto si ottiene che il valore della velocità areolare è:

$\dot{𝐀}=\frac{r^2\mathit{\omega }}{2}=\frac{x\dot{y}-\dot{x}y}{2}=\frac{ab\mathit{\omega }}{2}({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=\frac{ab\mathit{\omega }}{2}$

mentre il valore del momento angolare orbitale specifico $𝐡$ diventa:

$𝐡=2\dot{𝐀}=ab\mathit{\omega }$

Essendo $𝐡$ costante, anche $\dot{𝐀}$ e $\mathit{\omega }$ sono costanti e ciò consente di ottenere due equazioni lineari rispetto allo spostamento angolare $\mathit{\theta }$ e allo spostamento areolare $𝐀$:

$\begin{array}{cc}& \mathit{\theta }(t)={\mathit{\theta }}_0+\frac{𝐡}{ab}t\\ & 𝐀(t)={𝐀}_0+\frac{𝐡}{2}t\\ \end{array}$

Le equazioni del moto in coordinate cartesiane sono:

$𝐫=\{\begin{array}{cc}& x=a\cos (\frac{h}{ab}t+{\theta }_0)\\ & y=b\sin (\frac{h}{ab}t+{\theta }_0)\\ \end{array}⟹𝐯=\{\begin{array}{cc}& \dot{x}=-\frac{h}{b}\sin (\frac{h}{ab}t+{\theta }_0)\\ & \dot{y}=\frac{h}{a}\cos (\frac{h}{ab}t+{\theta }_0)\\ \end{array}⟹𝐚=\{\begin{array}{cc}& \ddot{x}=-\frac{h^2}{a{b}^2}\cos (\frac{h}{ab}t+{\theta }_0)\\ & \ddot{y}=\frac{h^2}{a^{2}b}\sin (\frac{h}{ab}t+{\theta }_0)\\ \end{array}$

ciò significa che l'accelerazione coincide con l'accelerazione centripeta ${𝐚}_c$, che è pari a:

${𝐚}_c={\left(\frac{h}{ab}\right)}^2𝐫$

È possibile osservare che nel caso di moto circolare, essendo $a=b=r$, il valore dell'accelerazione centripeta sia pari a:

${𝐚}_c={\omega }^2𝐫$

Bibliografia

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Voci correlate

• Leggi di Keplero
• Moto circolare
• Moto parabolico
• Moto iperbolico
• Orbita ellittica