Morfismo étale

Template:O In geometria algebrica, un morfismo étale (dal francese: calmo, immobile, qualcosa lasciato a stabilirsi.) è un morfismo di schemi che è formalmente étale ed è localmente di presentazione finita. Un morfismo étale è l'analogo algebrico della nozione di isomorfismo locale nella topologia euclidea. I morfismi étale soddisfano le ipotesi del teorema della funzione implicita, ma poiché gli aperti nella topologia di Zariski sono grandi, tali morfismi non sono necessariamente isomorfismi locali. Nonostante ciò, i morfismi étale conservano molte delle proprietà degli isomorfismi analitici locali e sono utili per definire il gruppo fondamentale algebrico e la topologia étale.

Definizione

Sia $\varphi :R\to S$ un omomorfismo di anelli. Allora $S$ è una $R$-algebra. Sia $f$ un polinomio monico in $R[x]$ e $g$ un polinomio in $R[x]$ tale che la derivata $f^{\prime }$ di $f$ è un'unità in $(R[x]/fR[x]{)}_g.$ Si dice che $\varphi$ è standard étale se $f$ e $g$ possono essere scelti in modo che $S$ sia isomorfo a $(R[x]/fR[x]{)}_g$ come $R$-algebra e che $\varphi$ sia la mappa canonica.

Sia $f:X\to Y$ un morfismo di schemi. Si dice che $f$ è étale se e solo se soddisfa una delle seguenti proprietà equivalenti:

1. $f$ è piatto e non ramificato.
2. $f$ è liscio e non ramificato.
3. $f$ è piatto, localmente di presentazione finita e, per ogni $y\in Y,$ la fibra $f^{-1}(y)$ è unione disgiunta di punti ciascuno dei quali è lo spettro di un'estensione di campo finita separabile del campo residuo $\kappa (y).$
4. $f$ è piatto, localmente di presentazione finita e per ogni $y\in Y$ e per ogni chiusura algebrica $K$ del campo residuo $\kappa (y),$ la fibra geometrica $f^{-1}(y){\otimes }_{\kappa (y)}K$ è unione disgiunta di punti ciascuno dei quali isomorfo a $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}K.$
5. $f$ è liscio di dimensione relativa zero.
6. $f$ è liscio e localmente quasi finito.
7. $f$ è localmente di presentazione finita ed è localmente étale standard, cioè:

   per ogni $x\in X,$ esiste un intorno aperto affine $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}R$ di $f(x)$ e un intorno aperto affine $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}S$ di $x$ tale che $f(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}S)\subset \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}R$ e tale che l'omomorfismo di anelli $R\to S$ indotto da $f$ è standard étale.

8. $f$ è localmente di presentazione finita e formalmente étale.
9. $f$ è localmente di presentazione finita e formalmente étale per mappe da anelli locali, cioè:

   sia $J$ un ideale di un anello locale $A$ tale che $J^2=0,$ sia $Z=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A,$ sia $Z_0=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(A/J)$ con punto chiuso $z_0$ e con $i:Z_0\to Z$ l'immersione chiusa canonica e siano $h:Z\to Y$ e $g_0:Z_0\to X$ morfismi tali che $f(g_0(z_0))=h(i(z_0)),$ allora esiste un unico $Y$-morfismo $g:Z\to X$ tale che $gi=g_0.$

Sia $Y$ localmente noetheriano e $f$ localmente di tipo finito. Dato $x\in X,$ sia $y=f(x)$ e sia ${\widehat{𝒪}}_{Y,y}\to {\widehat{𝒪}}_{X,x}$ la mappa indotta sugli anelli locali completati. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. $f$ è étale.
2. Per ogni $x\in X,$ la mappa indotta sugli anelli locali completati è formalmente étale per la topologia adica.
3. Per ogni $x\in X,$ il fascio ${\widehat{𝒪}}_{X,x}$ è un ${\widehat{𝒪}}_{Y,y}$-modulo libero e la fibra ${\widehat{𝒪}}_{X,x}/m_y{\widehat{𝒪}}_{X,x}$ è un campo che è un'estensione di finita separabile del campo residuo $\kappa (y).$ Qui $m_y$ è l'ideale massimale di ${\widehat{𝒪}}_{Y,y}.$
4. $f$ è formalmente étale per mappe di anelli locali tali che l'anello locale $A,$ con ideale massimale $m,$ è artiniano, $mJ=0,$ dove $J$ è un ideale di $A$ tale che $J^2=0,$ e il morfismo tra campi residui $\kappa (y)\to A/m$ è un isomorfismo.

Inoltre, se tutte le mappe sui campi residui $\kappa (y)\to \kappa (x)$ sono isomorfismi o se $\kappa (y)$ è separabilmente chiuso, allora $f$ è étale se e solo se per ogni $x\in X$ la mappa indotta sugli anelli locali completati è un isomorfismo.

Esempi

• Ogni immersione aperta è étale perché è localmente un isomorfismo.
• I rivestimenti sono esempi di morfismi étale. Ad esempio, se $d\ge 1$ è un numero intero invertibile nell'anello $R,$ allora

$\text{Spec}(R[t,t^{-1},y]/(y^d-t))\to \text{Spec}(R[t,t^{-1}])$

è un morfismo étale di grado $d.$

• Ogni rivestimento ramificato $\pi :X\to Y$ ha un luogo non ramificato

$\pi :X_{\text{un}}\to Y_{\text{un}}$

che è étale.

• I morfismi del tipo

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(L)\to \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(K)$

indotti da estensioni di campo finite separabili sono étale, essi formano rivestimenti aritmetici con gruppi di trasformazioni su $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(K)$ dati da $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/K).$

• Qualsiasi omomorfismo di anelli della forma $R\to S=R[x_1,\dots ,x_n{]}_g/(f_1,\dots ,f_n),$ dove tutti gli $f_i$ sono polinomi e dove il determinante jacobiano $\det (\partial f_i/\partial x_j)$ è un'unità in $S,$ è étale. Ad esempio il morfismo $ℂ[t,t^{-1}]\to ℂ[x,t,t^{-1}]/(x^n-t)$ è etale e corrisponde a un rivestimento di grado $n$ di ${𝔾}_m\in \mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}/ℂ$ con il gruppo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ delle trasformazioni su $ℂ.$

• Estendendo l'esempio precedente, supponiamo di avere un morfismo $f$ di varietà algebriche complesse lisce. Poiché $f$ è dato da equazioni, possiamo interpretarlo come una mappa di varietà differenziabili complesse. Ogni volta che lo jacobiano di $f$ è diverso da zero, $f$ è un isomorfismo locale di varietà differenziabili complesse per il teorema della funzione implicita. Dall'esempio precedente, avere jacobiano diverso da zero equivale a essere étale.

• Sia $f:X\to Y$ un morfismo dominante di tipo finito con $X$ e $Y$ localmente noetheriani e irriducibili e con $Y$ normale. Se $f$ è non ramificato, allora è étale.

• Dato un campo $K,$ qualsiasi $K$-algebra $A$ è necessariamente piatta. Pertanto, $A$ è un'algebra étale se e solo se è non ramificata, il che è anche equivalente a

$A{\otimes }_K\overline{K}\cong \overline{K}\oplus \dots \oplus \overline{K},$

dove $\overline{K}$ è la chiusura separabile del campo $K$ e il membro di destra è una somma diretta finita di cui tutti gli addendi sono $\overline{K}.$ Questa caratterizzazione delle $K$-algebre étale è un passo fondamentale verso la reinterpretazione della teoria classica di Galois.

Proprietà

• I morfismi étale sono preservati dalla composizione e dal cambiamento di base.
• I morfismi étale sono locali nel dominio e nel codominio. In altre parole, $f:X\to Y$ è étale se e solo se per ogni ricoprimento di $X$ di sottoschemi aperti, la restrizione di $f$ a ciascuno dei sottoschemi aperti del ricoprimento è étale; e anche se e solo se per ogni ricoprimento di $Y$ di sottoschemi aperti, i morfismi indotti $f_{(U)}:X{\times }_{Y}U\to U$ sono étale per ogni sottoschema $U$ del ricoprimento. In particolare è possibile verificare la proprietà di essere étale su aperti affini $V=\mathrm{Spec}(B)\to U=\mathrm{Spec}(A).$
• Il prodotto di una famiglia finita di morfismi étale è étale.
• Data una famiglia finita di morfismi $\{f_{\alpha }:X_{\alpha }\to Y\},$ l'unione disgiunta $\coprod f_{\alpha }:\coprod X_{\alpha }\to Y$ è étale se e solo se ogni $f_{\alpha }$ è étale.
• Dati $f:X\to Y$ e $g:Y\to Z,$ se $g$ è non ramificato e $gf$ è étale, allora $f$ è étale. In particolare, se $X$ e $X^{\prime }$ sono étale su $Y,$ allora ogni $Y$-morfismo tra $X$ e $X^{\prime }$ è étale.
• I morfismi étale quasi compatti sono quasi finiti.
• Un morfismo $f:X\to Y$ è un'immersione aperta se e solo se è etale e radiciale.
• Se $f:X\to Y$ è étale e suriettivo, allora $\dim X=\dim Y$ (finito o meno).

Teorema della funzione inversa

I morfismi étale $f:X\to Y$ sono la controparte algebrica dei diffeomorfismi locali. Più precisamente, un morfismo tra varietà lisce è étale in un punto se e solo se il differenziale tra i corrispondenti spazi tangenti è un isomorfismo. Questa è a sua volta precisamente la condizione necessaria per assicurare che una mappa tra varietà sia un diffeomorfismo locale, ossia per ogni punto $y\in Y,$ esiste un intorno aperto $U$ di $x$ tale che la restrizione di $f$ a $U$ sia un diffeomorfismo. Questa conclusione non vale nella geometria algebrica, perché la topologia è troppo grossolana. Si consideri ad esempio la proiezione $f$ della parabola $y=x^2$ sull'asse $y.$ Questo morfismo è étale in ogni punto tranne che nell'origine $(0,0),$ perché il differenziale è dato da $2x,$ che non si annulla in questi punti. Tuttavia non esiste un inverso (Zariski-)locale di $f$ perché la radice quadrata non è un morfismo algebrico, non essendo data dai polinomi. Ma, considerando la topologia étale, esiste una soluzione a questo problema. Il risultato preciso è il seguente: se $f:X\to Y$ è finito étale, allora per ogni punto $y\in Y$ esiste un morfismo étale $V\to Y$ che contiene $y$ nella sua immagine ($V$ può essere pensato come un intorno aperto étale di $y$), tale che $X{\times }_{Y}V\to V$ è unione disgiunta finita di sottoinsiemi aperti isomorfi a $V$ (l'insieme $X{\times }_{Y}V$ sarebbe la controimmagine di $V$ rispetto a $f$ se $V$ fosse un intorno aperto di Zariski). In altre parole, étale-localmente in $Y,$ il morfismo $f$ è un rivestimento topologico finito.

Per un morfismo liscio $f:X\to Y$ di dimensione relativa $n,$ étale-localmente in $X$ e in $Y,$ il morfismo $f$ è un'immersione aperta in uno spazio affine ${𝔸}_Y^n.$ Questa è la versione étale del teorema di struttura delle summersioni.

Bibliografia

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• JS Milne (2008). Lezioni sulla Coomologia Etale