Momento (probabilità)

Template:F In probabilità, il momento semplice o teorico di origine $m$ e ordine $k$ di una variabile casuale discreta è definito come il valore atteso della $k$-esima potenza dei valori

${\mu }_{m,k}=\sum _{i=1}^n(x_i-m{)}^k{p}_i,$

dove $p_i$ denota la funzione di massa di probabilità della variabile casuale. Oppure, nel caso di una distribuzione continua,

${\mu }_{m,k}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-m{)}^k{p}_X(x)dx,$

dove $p_X(x)$ denota la funzione di densità della variabile casuale.

Si definisce momento centrale un momento semplice con origine $E(X)$ e di ordine $k$ come la speranza matematica della $k$-esima potenza dello scarto da $E(X)$ ($\mu$ = ${\mu }_{0,1}$)

$m_k=\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^k{p}_i,$

oppure, nel caso di una variabile casuale continua,

$m_k=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^k{p}_X(x)dx,$

dove $\mu$ denota appunto il valore atteso della variabile casuale.

Caratteristiche di tali momenti semplici e centrali sono:

• ${\mu }_0=m_0=1$;
• ${\mu }_1$ è il valore atteso, indicata tradizionalmente con $\mu$;
• $m_1=0$;
• $m_2={\mu }_2-{\mu }_1^2$ è la varianza, indicata tradizionalmente con ${\sigma }^2$;
• $m_3={\mu }_3-3{\mu }_2\mu +2{\mu }^3$ è l'asimmetria, o skewness;
• $m_4={\mu }_4-4{\mu }_3\mu +6{\mu }_2{\mu }^2-3{\mu }^4$ è la curtosi.

In generale, la relazione tra il momento centrale $m_k$ e i momenti semplici ${\mu }_j$ è data da:

$m_k=\sum _{r=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{r}){\mu }_{k-r}(-\mu {)}^r,$

dove $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{r})$ è il coefficiente binomiale. Per cui è possibile verificare quanto indicato sopra.

Voci correlate

• Variabile aleatoria
• Valore atteso
• Varianza
• Simmetria (statistica), o skewness
• Curtosi
• Statistica
• Momenti di un'immagine

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni