Momento (elaborazione delle immagini)

Nell'elaborazione delle immagini ed in visione artificiale il momento di un'immagine, in analogia con il concetto di momento, è una particolare media dell'intensità dei pixel che compongono l'immagine.

In senso più generale, sono detti momenti anche le funzioni di tali medie, che godono di particolari proprietà o caratteristiche.

Momenti semplici

Per una funzione continua bi-dimensionale f(x,y) il momento (spesso chiamato "momento semplice") di ordine (p + q) è definito come

$M_{pq}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^p{y}^{q}f(x,y)dxdy$

per p,q = 0,1,2,...

Un teorema di unicità (Papoulis [1991]) afferma che se f(x,y) è continua a tratti ed ha valori non nulli solo in una porzione finita del piano xy, allora esistono i momenti di ogni ordine e la sequenza dei momenti (M_pq) è unicamente determinata da f(x,y). Per converso, (M_pq) determina unicamente f(x,y). In pratica, la funzione può essere descritta in funzione dei suoi momenti di ordine più basso.

Adattando questa definizione ad un'immagine digitale i cui pixel sono caratterizzati da intensità I(x,y), il momento semplice M_ij è dato da

$M_{ij}=\sum _x\sum _y{x}^i{y}^{j}I(x,y)$

In alcuni casi risulta conveniente normalizzare l'intensità in analogia ad una funzione di densità di probabilità, cioè dividere la quantità M_ij appena definita per

$\sum _x\sum _{y}I(x,y)$

Esempi

Semplici proprietà delle immagini derivate attraverso i momenti semplici includono:

• Area (per immagini binarie) o somma dei livelli di grigio (per immagini in scala di grigio): M₀₀
• Centroide: {$\overline{x},\overline{y}$} = {M₁₀/M₀₀, M₀₁/M₀₀ }

Momenti centrali

Il momento centrale di una funzione bidimensionale continua f(x,y) di ordine (p + q) è definito come

${\mu }_{pq}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\overline{x}{)}^p(y-\overline{y}{)}^{q}f(x,y)dxdy$

in cui $\overline{x}=\frac{M_{10}}{M_{00}}$ e $\overline{y}=\frac{M_{01}}{M_{00}}$ sono le componenti del centroide.

Se I(x, y) è l'intensità di un'immagine digitale, il suo momento centrale si calcola come

${\mu }_{pq}=\sum _x\sum _y(x-\overline{x}{)}^p(y-\overline{y}{)}^{q}I(x,y)$

I momenti centrali fino al terzo ordine sono

${\mu }_{00}=M_{00},$

${\mu }_{01}=0,$

${\mu }_{10}=0,$

${\mu }_{11}=M_{11}-\overline{x}{M}_{01}=M_{11}-\overline{y}{M}_{10},$

${\mu }_{20}=M_{20}-\overline{x}{M}_{10},$

${\mu }_{02}=M_{02}-\overline{y}{M}_{01},$

${\mu }_{21}=M_{21}-2\overline{x}{M}_{11}-\overline{y}{M}_{20}+2{\overline{x}}^2{M}_{01},$

${\mu }_{12}=M_{12}-2\overline{y}{M}_{11}-\overline{x}{M}_{02}+2{\overline{y}}^2{M}_{10},$

${\mu }_{30}=M_{30}-3\overline{x}{M}_{20}+2{\overline{x}}^2{M}_{10},$

${\mu }_{03}=M_{03}-3\overline{y}{M}_{02}+2{\overline{y}}^2{M}_{01}.$

Si può dimostrare che:

${\mu }_{pq}=\sum _m^p\sum _n^q(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{m})(\genfrac{}{}{0ex}{}{q}{n})(-\overline{x}{)}^{(p-m)}(-\overline{y}{)}^{(q-n)}{M}_{mn}$

Si dimostra inoltre che i momenti centrali sono invarianti rispetto a traslazioni dell'immagine

Esempi

Informazioni sull'orientamento di un'immagine possono esser derivate dai momenti centrali di secondo ordine a partire dalla matrice di covarianza. Avendo definito tali momenti

$\mu {\text{'}}_{20}={\mu }_{20}/{\mu }_{00}=M_{20}/M_{00}-{\overline{x}}^2$

$\mu {\text{'}}_{02}={\mu }_{02}/{\mu }_{00}=M_{02}/M_{00}-{\overline{y}}^2$

$\mu {\text{'}}_{11}={\mu }_{11}/{\mu }_{00}=M_{11}/M_{00}-\overline{x}\overline{y}$

la matrice di covarianza dell'immagine $I(x,y)$ è

$\mathrm{cov}[I(x,y)]=\left[\begin{array}{cc}\mu {\text{'}}_{20}& \mu {\text{'}}_{11}\\ \mu {\text{'}}_{11}& \mu {\text{'}}_{02}\end{array}\right]$.

Gli autovettori di tale matrice corrispondono all'asse maggiore ed all'asse minore dell'ellisse associato all'intensità dell'immagine: l'orientazione dell'immagine può allora essere estratta dall'angolo che il semiasse maggiore (autovettore associato all'autovalore massimo) forma con la direzione orizzontale. Tale angolo Θ è dato dalla seguente formula:

$\mathrm{\Theta }=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{2\mu {\text{'}}_{11}}{\mu {\text{'}}_{20}-\mu {\text{'}}_{02}}\right)$

Per trovare l'eccentricità di tale ellisse è sufficiente considerare che essa dipende dalla differenza relativa di grandezza degli autovalori e può pertanto essere calcolata tramite

$\sqrt{1-\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}}$

in cui gli autovalori valgono:

${\lambda }_i=\frac{\mu {\text{'}}_{20}+\mu {\text{'}}_{02}}{2}\pm \frac{\sqrt{4{{\mu }^{\prime }}_{11}^2+({{\mu }^{\prime }}_{20}-{{\mu }^{\prime }}_{02}{)}^2}}{2}$

Momenti centrali normalizzati

I momenti η_{p q} dove p + q ≥ 2 possono essere costruiti per essere invarianti sia a traslazione sia a cambiamenti di scala dividendo il corrispondente momento centrale per il momento di ordine (00) propriamente scalato, secondo la formula

${\eta }_{pq}=\frac{{\mu }_{pq}}{{\mu }_{00}^{(1+\frac{p+q}{2})}}$

Momenti di Hu

È possibile inoltre calcolare momenti che siano contemporaneamente invarianti a traslazione, cambiamenti di scala e rotazione. L'insieme di momenti più usati che godono di queste proprietà è l'insieme dei sette momenti di Hu:

$\begin{array}{cc}{\varphi }_1=& {\eta }_{20}+{\eta }_{02}\\ {\varphi }_2=& ({\eta }_{20}-{\eta }_{02}{)}^2+(2{\eta }_{11}{)}^2\\ {\varphi }_3=& ({\eta }_{30}-3{\eta }_{12}{)}^2+(3{\eta }_{21}-{\eta }_{03}{)}^2\\ {\varphi }_4=& ({\eta }_{30}+{\eta }_{12}{)}^2+({\eta }_{21}+{\eta }_{03}{)}^2\\ {\varphi }_5=& ({\eta }_{30}-3{\eta }_{12})({\eta }_{30}+{\eta }_{12})[({\eta }_{30}+{\eta }_{12}{)}^2-3({\eta }_{21}+{\eta }_{03}{)}^2]+\\ & (3{\eta }_{21}-{\eta }_{03})({\eta }_{21}+{\eta }_{03})[3({\eta }_{30}+{\eta }_{12}{)}^2-({\eta }_{21}+{\eta }_{03}{)}^2]\\ {\varphi }_6=& ({\eta }_{20}-{\eta }_{02})[({\eta }_{30}+{\eta }_{12}{)}^2-({\eta }_{21}+{\eta }_{03}{)}^2]+4{\eta }_{11}({\eta }_{30}+{\eta }_{12})({\eta }_{21}+{\eta }_{03})\\ {\varphi }_7=& (3{\eta }_{21}-{\eta }_{03})({\eta }_{30}+{\eta }_{12})[({\eta }_{30}+{\eta }_{12}{)}^2-3({\eta }_{21}+{\eta }_{03}{)}^2]+\\ & ({\eta }_{30}-3{\eta }_{12})({\eta }_{21}+{\eta }_{03})[3({\eta }_{30}+{\eta }_{12}{)}^2-({\eta }_{21}+{\eta }_{03}{)}^2].\end{array}$

Proprietà

• Il momento φ₁ è analogo al momento di inerzia intorno al centroide dell'immagine in cui le intensità dei pixel sono analoghe a densità fisiche.
• I primi sei momenti sono anche invarianti rispetto a riflessione. Per distinguere immagini specchiate, è pertanto necessario utilizzare il momento φ₇.

Altri momenti invarianti a rotazione

Una teoria generale per derivare un insieme completo di momenti invarianti a rotazione è stata proposta da J. Flusser e T. Suk. Essi hanno dimostrato che i tradizionali momenti di Hu non sono completi o comunque indipendenti. Dato che i momenti I₂ and I₃ non sono veramente indipendenti, essi propongono un ottavo momento:

$\begin{array}{cc}{I}_8=& {\eta }_{11}[({\eta }_{30}+{\eta }_{12}{)}^2-({\eta }_{03}+{\eta }_{21}{)}^2]-({\eta }_{20}-{\eta }_{02})({\eta }_{30}+{\eta }_{12})({\eta }_{03}+{\eta }_{21})\end{array}$

Collegamenti esterni

• Moment invariants, Institute of Information Theory and Automation, Prague, CZ
• Analysis of Binary Images, University of Edinburgh
• Statistical Moments, University of Edinburgh