Modello di compensazione

In fisica matematica, e soprattutto in biologia matematica, un sistema dinamico definito dall'equazione differenziale

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=xr(x)$

dove $r(x)$ è il tasso di crescita pro-capite, si dice modello di compensazione se sono verificate le seguenti proprietà:

• ${\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}|}_{x=0}=0$
• in un intorno di $0$ il tasso di crescita $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ cresce
• da un certo punto in poi il tasso di crescita diminuisce.

Grafco del tasso di crescita in un modello con compensazione

Formalmente, tali condizioni si traducono in:

• $r(x)\ge 0\mathrm{\forall }0\le x\le K$
• $r^{\prime }(x)\ge 0\mathrm{\forall }0\le x\le K^{*}$ dove $K^{*}<K$
• $r^{\prime }(x)\le 0\mathrm{\forall }{K}^{*}\le x\le K$
• $r^{″}(x)\le 0\mathrm{\forall }0\le x\le K$

Significato biologico

Nel caso di sistemi biologici, ossia se $x$ rappresenta una popolazione, il modello di compensazione è caratterizzato da un alto aumento di tasso di crescita pro-capite per popolazione bassa, fino a un assestamento superato un certo valore di individui.

Un esempio è quello di popolazioni che, in assenza di competizione (ovvero quando vi sono solo pochi individui), si riproducono con tassi simili al modello di Malthus, e in seguito diminuiscono la velocità di riproduzione fino a raggiungere un tasso nullo quando la popolazione raggiunge un punto d'equilibrio stabile (ad esempio quello pari alla carrying capacity nell'equazione logistica).

Voci correlate

• Modello di depensazione
• Equazione logistica
• Legge di Gompertz