Metodo di riduzione dell'ordine

In matematica, il metodo di riduzione dell'ordine è una procedura utilizzata per risolvere equazioni differenziali lineari ordinarie. Frequentemente si applica a equazioni lineari del secondo ordine quando si conosce una soluzione $y_1(x)$ e si vuole trovare una seconda soluzione linearmente indipendente $y_2(x)$. Nel caso di equazioni di ordine n produce un abbassamento di grado dell'equazione.

Metodo generale

Data un'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea:

$y^{″}+p(t)y^{\prime }+q(t)y=r(t)$

ed una soluzione $y_1(t)$ dell'equazione omogenea, si vuole trovare una soluzione dell'equazione completa che abbia la forma:

$y_2=v(t)y_1(t)$

dove $v(t)$ è una funzione arbitraria. Derivando:

${y_2}^{\prime }=v^{\prime }(t)y_1(t)+v(t){y_1}^{\prime }(t)$

${y_2}^{″}=v^{″}(t)y_1(t)+2v^{\prime }(t){y_1}^{\prime }(t)+v(t){y_1}^{″}(t)$

e sostituendo nell'equazione di partenza si ha:

$y_1(t)v^{″}+(2{y_1}^{\prime }(t)+p(t)y_1(t))v^{\prime }+({y_1}^{″}(t)+p(t){y_1}^{\prime }(t)+q(t)y_1(t))v=r(t)$

Dato che $y_1(t)$ è soluzione dell'equazione omogenea:

${y_1}^{″}(t)+p(t){y_1}^{\prime }(t)+q(t)y_1(t)=0$

la precedente si può ridurre a:

$y_1(t)v^{″}+(2{y_1}^{\prime }(t)+p(t)y_1(t))v^{\prime }=r(t)$

che è un'equazione del primo ordine per $v^{\prime }(t)$. Dividendo per $y_1(t)$ si ha:

$v^{″}+(\frac{2{y_1}^{\prime }(t)}{y_1(t)}+p(t))v^{\prime }=\frac{r(t)}{y_1(t)}$

Moltiplicando l'equazione per il fattore di integrazione:

$\mu (t)=e^{\int (\frac{2{y_1}^{\prime }(t)}{y_1(t)}+p(t))dt}=y_1^2(t)e^{\int p(t)dt}$

l'equazione si può ridurre a:

$\frac{d}{dt}(v^{\prime }(t)y_1^2(t)e^{\int p(t)dt})=y_1(t)r(t)e^{\int p(t)dt}$

Integrando l'ultima equazione si trova $v^{\prime }(t)$, che contiene una costante d'integrazione. Quindi integrando $v^{\prime }(t)$ si giunge alla soluzione dell'equazione non omogenea (con due costanti di integrazione):

$y_2(t)=v(t)y_1(t)$

Esempio

Data l'equazione lineare a coefficienti costanti:

$a{y}^{″}(x)+b{y}^{\prime }(x)+cy(x)=0$

dove $a$, $b$ e $c$ sono coefficienti non nulli, si assuma che l'equazione caratteristica associata:

$a{\lambda }^2+b\lambda +c=0$

abbia due radici ripetute:

${\lambda }_1={\lambda }_2=-\frac{b}{2a}$

Una soluzione dell'equazione è allora:

$y_1(x)=e^{-\frac{b}{2a}x}$

Per trovare la seconda, si consideri la funzione:

$y_2(x)=v(x)y_1(x)$

con $v(x)$ una funzione ignota da determinare. La funzione $y_2(x)$ deve soddisfare l'equazione di partenza; sostituendola in essa si ha:

$a(v^{″}{y}_1+2v^{\prime }{y_1}^{\prime }+v{y_1}^{″})+b(v^{\prime }{y}_1+v{y_1}^{\prime })+cv{y}_1=0$

e raccogliendo le derivate di $v(x)$:

$\left(a{y}_1\right)v^{″}+(2a{y_1}^{\prime }+b{y}_1)v^{\prime }+(a{y_1}^{″}+b{y_1}^{\prime }+c{y}_1)v=0$

Sapendo che $y_1(x)$ è una soluzione, il coefficiente del termine di grado zero dell'equazione precedente è nullo. Inoltre, sostituendo $y_1(x)$ nel coefficiente del secondo termine (primo grado) si ha che il coefficiente diventa:

$2a(-\frac{b}{2a}{e}^{-\frac{b}{2a}x})+b{e}^{-\frac{b}{2a}x}=(-b+b)e^{-\frac{b}{2a}x}=0$

Rimane quindi soltanto il termine di secondo grado:

$a{y}_1{v}^{″}=0$

Essendo $a\ne 0$ e $y_1(x)$ una funzione esponenziale (sempre positiva) si può scrivere:

$v^{″}=0$

che integrando due volte produce:

$v(x)=c_{1}x+c_2$

dove $c_1$ e $c_2$ sono costanti date dall'integrazione. Si può allora scrivere la seconda soluzione come:

$y_2(x)=(c_{1}x+c_2)y_1(x)=c_{1}x{y}_1(x)+c_2{y}_1(x)$

Essendo il secondo termine un multiplo scalare della prima soluzione (dunque linearmente dipendente con essa), esso non viene considerato e si giunge a:

$y_2(x)=x{y}_1(x)=x{e}^{-\frac{b}{2a}x}$

Per mostrare che invece la seconda soluzione $y_2(x)$ è linearmente indipendente, si calcola il Wronskiano:

$W(y_1,y_2)(x)=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& x{y}_1\\ {y_1}^{\prime }& y_1+x{y_1}^{\prime }\end{array}\right|=y_1(y_1+x{y_1}^{\prime })-x{y}_1{y_1}^{\prime }=y_1^2+x{y}_1{y_1}^{\prime }-x{y}_1{y_1}^{\prime }=y_1^2=e^{-\frac{b}{2a}x}\ne 0$

Quindi $y_2(x)$ è la seconda soluzione cercata.

Bibliografia

• Template:En W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
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Voci correlate

• Equazione di Eulero
• Equazione differenziale lineare
• Equazione differenziale lineare del secondo ordine
• Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie

Collegamenti esterni

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