Metodo degli spostamenti

Il metodo degli spostamenti è uno dei due possibili metodi di risoluzione del problema elastico-statico, assieme al metodo degli sforzi.

Partendo dalle equazioni di equilibrio, cinematiche e costitutive:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐓+𝐟=\mathrm{𝟎}$

$\mathit{\epsilon }=\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }𝐬+\mathrm{\nabla }{𝐬}^T)$

${\sigma }_{ij}=D_{ijkl}{\epsilon }_{kl}$

che costituiscono un sistema differenziale del secondo ordine, a 9 incognite in 9 equazioni, si può arrivare a scrivere tre equazioni scalari nelle sole incognite spostamento note come equazioni di Navier. Si noti che $𝐓$ è il tensore delle tensioni, $𝐟$ il vettore delle forze esterne e $𝐬$ il vettore degli spostamenti. Il sistema è del secondo ordine per cui l'ordine di continuità della soluzione è unitario. Gli spostamenti sono quindi soluzione continua come conseguenza della forma matematica del sistema e non occorre aggiungere alcuna condizione di compatibilità o congruenza.

Per arrivare alle equazioni di Navier si parte dalla prima equazione sostituendo agli sforzi le loro espressioni in termini di deformazioni attraverso il legame costitutivo, e quindi sostituendo le deformazioni stesse con le derivate degli spostamenti attraverso il legame cinematico.

Le equazioni di Navier in forma vettoriale si scrivono come:

$(\lambda +G_m)\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐬)+G{\mathrm{\nabla }}^2𝐬+\rho 𝐅=\mathrm{𝟎}$

cioè scalarmente:

$\{\begin{array}{c}(\lambda +G_m)(u_{xx}+v_{xy}+w_{xz})+G_m{\mathrm{\nabla }}^{2}u+F_x=0\\ (\lambda +G_m)(u_{yx}+v_{yy}+w_{yz})+G_m{\mathrm{\nabla }}^{2}v+F_y=0\\ (\lambda +G_m)(u_{zx}+v_{zy}+w_{zz})+G_m{\mathrm{\nabla }}^{2}w+F_z=0\end{array}$

Con:

• $\rho 𝐅=(F_x,F_y,F_z)$, dove $𝐅$ è la forza di volume del corpo per unità di massa e $\rho$ è la densità di massa;
• $\{u,v,w\}$ componenti dello spostamento;
• $\lambda$ è la costante di Lamé, $\lambda =\frac{E*\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$, e G è il modulo di elasticità tangenziale, $G_m=\frac{E}{2(1+\nu )}$, dove $E$ è il modulo di elasticità longitudinale di Young e $\nu$ è il coefficiente di Poisson.

Voci correlate

• Teoria dell'elasticità
• Eugenio Beltrami
• Metodo degli sforzi
• Equazioni di Beltrami
• Deformazione