Matrice identità

In matematica, la matrice identità, anche detta matrice identica o matrice unità, è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono costituiti dal numero 1, mentre i restanti elementi sono 0. Viene indicata con $I$ oppure con $I_n$, dove $n$ è il numero di righe della matrice.

$I_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\cdots I_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

Proprietà

• La proprietà fondamentale di $I_n$ è che:

$A{I}_n=A{I}_{n}B=B$

per ogni matrice $A$ e $B$ per cui sono definite queste moltiplicazioni di matrici.

• In particolare, la matrice identità è invertibile, essendo l'inversa di se stessa.
• La i-esima colonna di una matrice identità è l'i-esimo vettore $e_i$ della base canonica dello spazio euclideo ${ℝ}^n$.
• La matrice identità è diagonale, ed ha il solo autovalore 1.

Notazioni

Usando la notazione applicata talvolta per descrivere in modo conciso le matrici diagonali, si può scrivere:

$I_n=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,1,\dots ,1)$

Si può anche scrivere con la notazione delta di Kronecker:

$(I_n{)}_{ij}={\delta }_{ij}$

Anello delle matrici

Dalla proprietà fondamentale segue che la matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione nell'anello di tutte le matrici $n\times n$ a valori in un campo fissato $K$.

Analogamente, è l'elemento neutro nel gruppo generale lineare $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,K)$ formato da tutte le matrici invertibili $n\times n$ a valori in $K$.

Trasformazioni lineari

Sia $K$ un campo. Ogni matrice quadrata $A$ induce una trasformazione lineare dallo spazio vettoriale $K^n$ in sé, definita nel modo seguente:

$x\mapsto Ax$

La matrice identità è così chiamata perché induce la funzione identità. Più in generale, la matrice identità è la matrice associata alla funzione identità da uno spazio vettoriale in sé, rispetto ad una qualsiasi base.

Bibliografia

• Template:En Akivis, M. A. and Goldberg, V. V. An Introduction to Linear Algebra and Tensors. New York: Dover, 1972.
• Template:En Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 10, 1962.
• Template:En Courant, R. and Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 1. New York: Wiley, 1989.

Voci correlate

• Funzione identità
• Identità (matematica)
• Matrice quadrata
• Risoluzione all'identità

Collegamenti esterni

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