Lemma di Kronecker

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In matematica, il lemma di Kronecker è un risultato sulla relazione tra la convergenza di una successione e la convergenza di una particolare serie relativa ad essa. [1] Il lemma è spesso utilizzato nelle dimostrazioni di teoremi sulle somme di variabili aleatorie indipendenti, come la legge dei grandi numeri. Il nome del lemma è dovuto al matematico tedesco Leopold Kronecker.

Il lemma

Se (xn)n=1∞ è una successione infinita di numeri reali tale che

∑m=1∞xm=s

esiste ed è finito, allora per ogni successione crescente 0<b1≤b2≤b3≤… e bn→∞ si ha che

limn→∞1bn∑k=1nbkxk=0.

Dimostrazione

Siano Sk le somma parziali della successione xn. Usando la sommazione per parti,

1bn∑k=1nbkxk=Sn−1bn∑k=1n−1(bk+1−bk)Sk

Preso un ϵ>0, si sceglie N in modo che |Sk−s|<ϵ per ogni k>N, sempre possibile poiché la successione converge a s. Allora il membro destro è:

Sn−1bn∑k=1N−1(bk+1−bk)Sk−1bn∑k=Nn−1(bk+1−bk)Sk
=Sn−1bn∑k=1N−1(bk+1−bk)Sk−1bn∑k=Nn−1(bk+1−bk)s−1bn∑k=Nn−1(bk+1−bk)(Sk−s)
=Sn−1bn∑k=1N−1(bk+1−bk)Sk−bn−bNbns−1bn∑k=Nn−1(bk+1−bk)(Sk−s).

Ora, facendo tendere n all'infinito, il primo termine tende a s, che si cancella con il terzo. Il secondo termine va a zero (poiché la sommatoria è su un numeri finito di termini). Dal momento che la successione b è crescente, l'ultimo addendo è maggiorato da ϵ(bn−bN)/bn≤ϵ. Quindi riassumendo, per ogni ϵ>0 si può trovare un N tale che

|1bn∑k=1nbkxk|<ϵ

per ogni n>N, e allora per definizione di limite di una successione si ha che

limn→∞1bn∑k=1nbkxk=0.

Note

  1. ↑ Shiryaev, Albert N. (1996). Probability (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-94549-0.

Voci correlate

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