Lemma della farfalla

Il lemma della farfalla è un risultato utilizzato nell'algebra.

Siano $U$ e $V$ due sottogruppi di un gruppo $G$ , siano $H$ e $K$ sottogruppi normali di $U$ e $V$ rispettivamente, allora:

I gruppi quozienti inoltre risultano isomorfi:

H (U \cap V) / H (U \cap K) ≅ (U \cap V) K / (H \cap V) K

Dimostrazione

Una possibile dimostrazione del Lemma è:

Si verifica che $H (U \cap K)$ è normale in $H (U \cap V)$ .

Si può osservare che $U \cap K$ è normale in $U \cap V$ , infatti $\forall k \in U \cap K$ e $\forall v \in U \cap V$ si ha:

${\begin{matrix} v k v^{- 1} \in K, & perché K è normale in V, \\ v k v^{- 1} \in U, & perché k, v \in U . \end{matrix} ⟹ v k v^{- 1} \in U \cap K$ .

Poiché ogni gruppo ė normale in sé si ha che $H (U \cap K)$ ė normale in $H (U \cap V)$ .

Si verifica che $(H \cap V) K$ è normale in $(U \cap V) K$ .

Si può osservare che $H \cap V$ è normale in $U \cap V$ . Infatti, $\forall k \in H \cap V$ e $\forall v \in U \cap V$ , si ha:

${\begin{matrix} v k v^{- 1} \in U, & perché H è normale in U, \\ v k v^{- 1} \in V, & perché k, v \in V . \end{matrix} ⟹ v k v^{- 1} \in H \cap V .$

Poiché ogni gruppo ė normale in sé si ha che $(H \cap V) K$ è normale in $(U \cap V) K$ .

La combinazione di gruppi e gruppi quoziente diventa chiara quando la visualizziamo nel diagramma di sottogruppi che dà il nome al Lemma:

Nel diagramma sono dati $H, K, U, V,$ tutti gli altri punti del diagramma corrispondono a certi gruppi che si possono determinare nel modo seguente:

• L'intersezione di due segmenti che vanno verso il basso corrispondono all'intersezione di gruppi;

• L'intersezione di due linee che vanno verso l'alto corrisponde al prodotto.

Consideriamo i due parallelogrammi che formano le ali della farfalla, otteniamo l'isomorfismo dei gruppi quoziente come segue:

$(H (U \cap V)) / (H (U \cap K)) (U \cap V) / ((H \cap V) (U \cap K)) ≅ (U \cap V) K / (H \cap V) K$

Infatti il lato in comune ai due parallelogrammi ha come punto iniziale $U \cap V$ ,

e come punto finale $(H \cap V) (U \cap K)$ . Si ha l'isomorfismo:

$(H (U \cap V)) / (H (U \cap K)) ≅ (U \cap V) / ((H \cap V) (U \cap K))$

$G / ((G \cap N)) ≅ G N / N$ ,

Con $G = U \cap V$ e $N = H (U \cap K)$ .

Questo dà l'isomorfismo di sinistra.

L'isomorfismo di destra si ottiene per simmetria.

Da cui $(H (U \cap V)) / (H (U \cap K)) ≅ (U \cap V) K / (H \cap V) K$ .

Q.E.D.

J. Lambek Pierce, The Butterfly and the Serpent, 1996, p. 27, exercise 1
Aldo Ursini, Paulo Agliano, Logic and Algebra, CRC Press, pp. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.
Carl Clifton Faith, Nguyen Viet Dung, Barbara Osofsky, Rings, Modules and Representations, AMS Bookstore, 2009, p. 6 ISBN 0-8218-4370-2
Hans Zassenhaus, Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 1934
Hans Zassenhaus, Theory of Groups, second English edition, Lemma on Four Elements, Chelsea Publishing, 1958, p. 74