Legge delle aree

La legge delle aree è una legge di fluidodinamica valida per flussi quasi-unidimensionali stazionari isentropici, che pone in relazione le aree di due sezioni trasversali di un tubo di flusso ed i numeri di Mach medi sulle medesime sezioni.

Si ricava ricordando l'espressione della portata in massa per un flusso stazionario, dove cioè la variazione nel tempo delle variabili è trascurabile:

$\dot{m}={\rho }_1{u}_1{A}_1={\rho }_2{u}_2{A}_2$

essendo m la massa (il punto indica la derivazione rispetto al tempo di tale quantità), ρ la densità, u la velocità assiale ed A l'area della sezione (che può essere variabile con x ascissa dell'asse del condotto). I pedici indicano che le quantità appartengono a due diverse sezioni.

È possibile riscrivere la precedente equazione nella forma:

$\frac{A_2}{A_1}=\frac{{\rho }_1{u}_1}{{\rho }_2{u}_2}$

e dalla definizione di numero di Mach (Ma = u/a, dove a rappresenta la velocità del suono):

$\frac{A_2}{A_1}=\frac{{\rho }_1{a}_1{\mathrm{M}\mathrm{a}}_1}{{\rho }_2{a}_2{\mathrm{M}\mathrm{a}}_2}$

la quale pone già in relazione le sezioni con i numeri di Mach relativi ad esse, ma permangono anche densità e velocità del suono. Ricordando che, grazie al fatto che il flusso è isentropico, le grandezze di ristagno (o totali) restano costanti, cioè:

${\rho }_0={\rho }_1{(1+\delta {\mathrm{M}\mathrm{a}}_1^2)}^{\frac{1}{\gamma -1}}={\rho }_2{(1+\delta {\mathrm{M}\mathrm{a}}_2^2)}^{\frac{1}{\gamma -1}}$

$a_0=a_1{(1+\delta {\mathrm{M}\mathrm{a}}_1^2)}^{\frac{1}{2}}=a_2{(1+\delta {\mathrm{M}\mathrm{a}}_2^2)}^{\frac{1}{2}}$

dove con δ di è indicato (γ − 1)/2 e con γ il rapporto tra i calori specifici a pressione e a volume costante; si possono ora sostituire alle grandezze statiche, le grandezze totali:

$\frac{A_2}{A_1}=\frac{{\mathrm{M}\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{M}\mathrm{a}}_2}\frac{{\rho }_0{a}_0}{{(1+\delta {\mathrm{M}\mathrm{a}}_1^2)}^{\frac{1}{\gamma -1}}{(1+\delta {\mathrm{M}\mathrm{a}}_1^2)}^{\frac{1}{2}}}\frac{{(1+\delta {\mathrm{M}\mathrm{a}}_2^2)}^{\frac{1}{\gamma -1}}{(1+\delta {\mathrm{M}\mathrm{a}}_2^2)}^{\frac{1}{2}}}{{\rho }_0{a}_0}$

ed infine:

$\frac{A_2}{A_1}=\frac{{\mathrm{M}\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{M}\mathrm{a}}_2}{\left(\frac{1+\delta {\mathrm{M}\mathrm{a}}_2^2}{1+\delta {\mathrm{M}\mathrm{a}}_1^2}\right)}^{\frac{\gamma +1}{2(\gamma -1)}}$

che rappresenta appunto la formulazione matematica della legge delle aree.

Voci correlate

• Regola delle aree

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