Left loop

Un left-loop è una struttura algebrica usata in matematica.

Definizione

Un left-loop è una struttura algebrica che consiste di un insieme non vuoto $L$ dotato di un'operazione binaria

$(\cdot ):L\times L⟶L$

tale che:

1. esiste un elemento $1_L$, detto neutro, tale che $1_L\cdot a=a\cdot 1_L$ per ogni $a\in L$;
2. l'equazione $a\cdot x=b$ ha un'unica soluzione $x\in L$.

Costruzione di left-loop

Sezione di un gruppo

Definizione

Siano $G$ un gruppo ed $H$ un suo sottogruppo. Una sezione di $G$ relativamente ad $H$ è un'applicazione

$\sigma :G/H⟶G,$

dove $G/H$ è la famiglia delle classi laterali sinistre di $G$ modulo $H$, tale che:

1. $\sigma (G/H)$ è un insieme di rappresentanti di classi laterali sinistre;
2. $\sigma (H)=1_G$.

Inoltre l'immagine $L:=\sigma (G/H)$ della sezione prende il nome di trasversale (sinistro) di $G/H$. Va osservato che la 1. è equivalente alla condizione

$\pi \circ \sigma (gH)=gH,\mathrm{\forall }g\in G,$

dove $\pi :G\to G/H$ è la proiezione canonica del gruppo $G$ sul quoziente $G/H$.

Teorema 1

Siano $G$ un gruppo, $H$ un sottogruppo di $G$ e $\sigma$ una sezione di $G/H$, allora $L:=\sigma (G/H)$ è un left loop rispetto l'operazione

$a\cdot b:=\sigma (abH)(a,b\in L).$

Dimostrazione

L'identità $1_G$ sta in $L$ poiché esso è un trasversale di $G/H$, dunque basta far vedere che l'equazione sinistra

$a\cdot x=b,(1)$

ha un'unica soluzione in $L.$

L'elemento $\sigma (a^{-1}bH)$ è una soluzione di (1), poiché

$a\cdot \sigma (a^{-1}bH)=\sigma (a\sigma (a^{-1}bH)H)=\sigma (a{a}^{-1}bH)=\sigma (bH)=b.$

Supponiamo che

$a\cdot x=a\cdot y,$

per qualche $x,y\in L$, allora

$a\cdot x=a\cdot y\iff \sigma (a\cdot xH)=\sigma (a\cdot yH)\Rightarrow \sigma (a\cdot xH)H=\sigma (a\cdot yH)H\Rightarrow$

$\Rightarrow axH=ayH\Rightarrow xH=yH\Rightarrow x=y.$

Teorema 2

Siano $G$ un gruppo, $H$ un sottogruppo ed $\sigma :G/H\to G$ una sezione con $\sigma (H)=1_G$. Il left-loop definito su $L=\sigma (G/H)$ rispetto l'operazione

$a\cdot b:=\sigma (abH)(a,b\in L).$

è un loop se e solo se $L$ è trasversale sinistro per ogni spazio omogeneo $G/H^g$, $g\in G$.