Kernel di Szegő

Template:O Nello studio matematico di diverse variabili complesse, il kernel di Szegő è un trasformata integrale che dà origine a una kernel che si riproduce su uno spazio di Hilbert naturale di funzioni olomorfe . Prende il nome dal suo scopritore, il matematico ungherese Gábor Szegő.

Sia Ω un dominio limitato in Cⁿ con C² di confine, e A(Ω) denota lo spazio di tutte le funzioni olomorfe in Ω che sono continui su $\bar{\mathrm{\Omega }}$. Definito lo spazio di Hardy H²(∂Ω) come la chiusura in L²(∂Ω) delle restrizioni degli elementi di A(Ω) al bordo. L'integrale di Poisson implica che ogni elemento ƒ di H²(∂Ω) si estende a una funzione olomorfa Pƒ in Ω. Inoltre, per ogni z ∈ Ω, la mappa

$f\mapsto Pf(z)$

definisce un funzionale lineare continuo su H²(∂Ω). Per il teorema di rappresentazione di Riesz, questo funzionale lineare è rappresentato da un kernel k_z, vale a dire

$Pf(z)=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }f(\zeta )\overline{k_z(\zeta )}d\sigma (\zeta ).$

Il kernel di Szegő è definito da

$S(z,\zeta )=\overline{k_z(\zeta )},z\in \mathrm{\Omega },\zeta \in \partial \mathrm{\Omega }.$

Come il kernel di Bergman, il kernel di Szeg è olomorfo in z. Infatti, se φ_i è una base ortonormale di H²(∂Ω) costituita interamente dalle restrizioni delle funzioni in A(Ω), allora un argomento del teorema di Riesz-Fischer mostra che

$S(z,\zeta )=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\varphi }_i(z)\overline{{\varphi }_i(\zeta )}.$

Note

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