Ipertetraedro

In geometria quadridimensionale, l'ipertetraedro (detto anche 5-cella, pentacoro o 4-simplesso) è uno dei sei policori regolari. È il policoro regolare più semplice, la naturale estensione in dimensione 4 del triangolo (bidimensionale) e del tetraedro (tridimensionale).

L'ipertetraedro regolare è delimitato da tetraedri regolari, ed è uno dei sei politopi regolari, rappresentato dal simbolo di Schläfli {3,3,3}.

Descrizione

Da un punto di vista matematico, un ipertetraedro è l'inviluppo convesso di 5 punti nello spazio euclideo 4-dimensionale ${ℝ}^4$ che siano in posizione generale (cioè che non siano contenuti in un sottospazio affine). Ad esempio, si possono prendere i punti

$P_0=(0,0,0,0),P_1=(1,0,0,0),P_2=(0,1,0,0),P_3=(0,0,1,0),P_4=(0,0,0,1)$

L'inviluppo convesso è quindi l'insieme seguente:

$\{(x_1,x_2,x_3,x_4)|x_1,x_2,x_3,x_4⩾0,x_1+x_2+x_3+x_4⩽1\}$

Facce

Come tutti i politopi, l'ipertetraedro ha un certo numero di vertici, spigoli, facce...

• Il pentacoro ha 5 vertici $P_0,P_1,P_2,P_3,P_4$.
• Ciascuna coppia di vertici è collegata da uno spigolo: ci sono quindi 10 spigoli.
• Ciascuna tripletta di vertici determina una faccia: ci sono quindi 10 facce (triangolari).
• Ciascuna 4-upla di vertici determina una 3-faccia: ci sono quindi 5 facce tridimensionali (tetraedri).

Ogni vertice è collegato a 4 spigoli, 6 facce e 4 facce tridimensionali. La cuspide di un vertice è un tetraedro (sferico).

Proiezioni

Una proiezione dell'ipertetraedro nello spazio. Ci sono 5 vertici: ogni coppia di vertici è collegata da uno spigolo, ogni terna di vertici determina un triangolo, ogni quaterna determina una cella: celle e triangoli si sovrappongono nella proiezione.

In questa animazione è mostrata una proiezione nello spazio di un ipertetraedro che sta ruotando nello spazio 4-dimensionale ${ℝ}^4$. La rotazione è una rotazione simultanea su due piani ortogonali.

Un poliedro 3-dimensionale può essere disegnato sul piano (bidimensionale): il disegno che ne risulta è generalmente l'immagine di una proiezione del poliedro sul piano. Analogamente, ogni policoro 4-dimensionale può essere proiettato nello spazio 3-dimensionale. L'immagine di questa proiezione dipende dal modo in cui il policoro è posizionato nello spazio euclideo 4-dimensionale (che in matematica è indicato con il simbolo ${ℝ}^4$).

Una proiezione non può descrivere completamente la geometria di un ipertetraedro; sono però visibili alcuni aspetti combinatori, come le incidenze fra vertici, spigoli e facce. Nella proiezione spigoli, facce e/o celle distinte possono intersecarsi, benché siano disgiunte nel poliedro quadridimensionale.

Sviluppo

Lo sviluppo dell'ipertetraedro è composto da 5 tetraedri regolari uniti in modo da avere, a due a due, una sola faccia in comune.

Uno sviluppo del pentacoro

Dualità

L'ipertetraedro è autoduale, come tutti i simplessi.

Relazione di Eulero

Per questo politopo vale la relazione (4-dimensionale) di Eulero, dove V è il numero di vertici, F è il numero di facce, S è il numero di spigoli e C è il numero di celle:

$V+F=S+C.$

In questo caso 5 + 10 = 10 + 5.

Modello

Per la costruzione del modello del policoro in contesto, sia nella "versione implosa" (in cui l'involucro è costituito dal poliedro di composizione: il tetraedro regolare), che nella "versione esplosa" (in cui l'involucro è costituito dal doppio del poliedro di composizione), i materiali più indicati sono quelli trasparenti (plexiglas, ecc.), ma con il filo metallico ("scheletro essenziale", cioè vertici e spigoli) è più facile da costruire, nell'una o nell'altra versione.

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  5-cella (versione implosa)
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  5-cella (versione esplosa)
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  Sviluppo della 5-cella

Bibliografia

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Voci correlate

• Politopi regolari
• Numeri ipertetraedrici
• Triangolo
• Tetraedro
• Tesseratto

Collegamenti esterni

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• Richard Klitzing (multi) prismi, e altri policori di Wythoffian x3o3o3o - pen
• Der 5-Zeller (5-cell) Politopi Regolari di Marco Möller in R⁴ (German)
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