Inverso di un numero complesso

Template:F L'inverso di un numero complesso $z=a+ib\ne 0$ è quel numero tale che moltiplicato per $z$ dà 1. Ovvero, indicando l'inverso con $z^{-1}$, è tale che:

$z\cdot z^{-1}=1$

Costruzione algebrica

Conoscendo la norma ed il coniugato di $z$ è possibile calcolare $z^{-1}$ attraverso la formula:

$z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$

Ovvero, se $z=a+ib$ otteniamo

$z^{-1}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}$

Nel caso di un numero reale $a=a+i0$ si ottiene banalmente:

$a^{-1}=\frac{a}{a^2}=\frac{1}{a}$

Costruzione geometrica

Fissato il punto $z$ sul piano di Argand-Gauss è possibile costruire il punto $z^{-1}$ usando alcuni teoremi della geometria euclidea.

Primo metodo

Si fissi il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso $z$ e si congiunga tale punto con l'origine $O$.

Si tracci la retta simmetrica alla retta $\overline{Oz}$ rispetto all'asse reale.

Si disegni la circonferenza di centro nell'origine e raggio 1 e si indichi con $A$ il punto di intersezione di tale circonferenza con la retta $\overline{Oz}$.

Si congiunga $z$ con il punto $C$$=(1,0)$ e si conduca da $A$ la parallela alla retta $\overline{Cz}$.

Indicato con $B$ il punto di intersezione di tale parallela con l'asse reale, si disegni la circonferenza con centro nell'origine e raggio $\overline{OB}$.

Il punto di intersezione di tale circonferenza con la retta simmetrica della retta $\overline{Oz}$ rispetto all'asse reale è il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso $\frac{1}{z}$.

Infatti, per la similitudine dei triangoli $OAB$ e $OzC$, si ha:

$Oz:OA=OC:OB\Rightarrow \left|z\right|:1=1:OB\Rightarrow OB=\frac{1}{|z|}$

D'altra parte, essendo $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{{\left|z\right|}^2}$ un multiplo di $\bar{z}$ avrà il suo stesso argomento, ovvero starà nella retta $\overline{O\stackrel{‾}{z}}$

Quindi il numero costruito è proprio $\frac{1}{z}$ poiché ha modulo uguale ad $\overline{OB}=\frac{1}{\left|z\right|}$ ed argomento opposto a quello di $z$.

Secondo metodo

Si fissi il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso $z$ e si tracci il complesso coniugato $\bar{z}$.

Si congiunga $\bar{z}$ con l'origine $O$.

Si disegni la circonferenza con centro nell'origine e raggio 1 e si conduca da $\bar{z}$ una delle due tangenti a tale circonferenza e si indichi con $T$ il punto di tangenza.

Si congiunga tale punto con l'origine e si conduca, sempre da $T$ la perpendicolare alla retta $\overline{O\stackrel{‾}{z}}$.

Il piede $X$ di tale perpendicolare è il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso $\frac{1}{z}$.

Infatti, per il primo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo $OT\bar{z}$ si ha:

$\overline{O\stackrel{‾}{z}}:\overline{OT}=\overline{OT}:\overline{OX}$

ma, poiché $\left|\bar{z}\right|=\left|z\right|$, si ha

$\left|z\right|:1=1:\overline{OX}\Rightarrow \overline{OX}=\frac{1}{\left|z\right|}$.

Il segmento $\overline{OX}$ è inoltre contenuto nella retta passante per l'origine e $\bar{z}$, quindi l'argomento è esattamente l'opposto di quello di $z$.

Voci correlate

• Complesso coniugato
• Numero complesso
• Piano complesso
• Primo teorema di Euclide