Inverso destro e sinistro

In matematica e in particolare in algebra astratta, dato un magma $(X,\cdot )$ con elemento neutro $1,$ per ogni elemento $x\in X$ è possibile definire inverso destro di $x$ un elemento $d_x\in X$ tale che $x\cdot d_x=1$ e inverso sinistro di $x$ un elemento $s_x\in X$ tale che $s_x\cdot x=1.$

Proprietà

Se l'operazione binaria $\cdot$ è associativa, allora si ha che:

• L'inverso destro e l'inverso sinistro di $x,$ se esistono, coincidono. Infatti $s_x=s_x\cdot 1=s_x\cdot (x\cdot d_x)=(s_x\cdot x)\cdot d_x=1\cdot d_x=d_x.$
• L'inverso di $x,$ se esiste, è unico. Infatti, siano $a$ e $b$ due inversi dell'elemento $x,$ allora $a=a\cdot 1=a\cdot (x\cdot b)=(a\cdot x)\cdot b=1\cdot b=b.$ Si indica allora l'unico elemento inverso di $x$ con $x^{-1}.$
• L'elemento $x$ è l'inverso di $x^{-1}$ (segue dalla definizione di inverso).
• Ogni elemento commuta con il suo inverso. Infatti, $x\cdot x^{-1}=1=x^{-1}\cdot x.$
• L'inverso dell'inverso è l'elemento stesso. Infatti, sia $x$ che $(x^{-1}{)}^{-1}$ sono inversi di $x^{-1}$. Allora, per l'unicità dell'inverso, abbiamo che $x=(x^{-1}{)}^{-1}.$
• Se $x$ e $y$ hanno un inverso, allora l'inverso di $x\cdot y$ è $y^{-1}\cdot x^{-1}.$ Infatti, $(x\cdot y)\cdot (y^{-1}\cdot x^{-1})=x\cdot (y\cdot y^{-1})\cdot x^{-1}=x\cdot 1\cdot x^{-1}=x\cdot x^{-1}=1.$