Integrale di volume

In matematica, in particolare nel calcolo in più variabili, un integrale di volume è l'integrale di superficie della funzione costante $f=1$, e fornisce il volume della superficie considerata.

Definizione

Si definisce elemento di volume in ${ℝ}^k$ la k-forma:

$d𝐕=d{x}_1\wedge d{x}_2\wedge \cdots \wedge d{x}_k$

Sia $S$ una k-superficie positivamente orientata in ${ℝ}^k$ e $f=1$ la funzione costante definita sull'immagine di $S$. Allora:

$\underset{S}{\int }f(𝐱)d{x}_1\wedge d{x}_2\wedge \cdots \wedge d{x}_k=\underset{S}{\int }fd{𝐕}_k$

Sia $D\in {ℝ}^k$ il dominio di parametrizzazione di $S$ e $S:D\to {ℝ}^k$ iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana $J_S$ positiva. Allora il volume della superficie è dato da:

$\underset{S}{\int }d{x}_1\wedge d{x}_2\wedge \cdots \wedge d{x}_k=\underset{S}{\int }{J}_S(𝐮)d𝐮=\underset{S(D)}{\int }d𝐱$

Volume in tre dimensioni

L'integrale di volume è un integrale triplo della funzione costante 1, che restituisce il volume della regione $D\subseteq {ℝ}^3$, cioè:

$\mathrm{Vol}(D)=\underset{D}{\iiint }dxdydz$

Con "integrale di volume" si identifica anche l'integrale triplo calcolato nella regione $D$ di una funzione $f(x,y,z),$ ed è generalmente scritto:

$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz.$

Un integrale di volume in coordinate cilindriche è:

$\underset{D}{\iiint }f(r,\theta ,z)rdrd\theta dz,$

mentre un integrale di volume in coordinate sferiche ha la forma:

$\underset{D}{\iiint }f(r,\theta ,\varphi )r^2\sin \theta drd\theta d\varphi$

Esempio

Integrando la funzione $f(x,y,z)=1$ su un cubo di spigolo unitario si ottiene il seguente risultato:

$\underset{000}{\overset{111}{\iiint }}1dxdydz=\underset{00}{\overset{11}{\iint }}(1-0)dydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-0)dz=1-0=1$

Quindi il volume del cubo unitario è 1 come previsto. In realtà, l'integrale di volume permette di risolvere problemi molto più complessi. Per esempio se abbiamo una funzione scalare $f:{ℝ}^3\to ℝ$ che descrive la densità del cubo in un punto assegnato $(x,y,z)$ da $f=x+y+z$ si può calcolare la massa totale del cubo calcolando l'integrale di volume:

$\underset{000}{\overset{111}{\iiint }}(x+y+z)dxdydz=\underset{00}{\overset{11}{\iint }}(\frac{1}{2}+y+z)dydz=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1+z)dz=\frac{3}{2}$

Bibliografia

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Voci correlate

• Teorema della divergenza
• Integrale di superficie
• Integrale di linea

Collegamenti esterni

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