Integrale di Frullani

Gli integrali di Frullani sono integrali definiti della forma

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x$

dove $f(x)$ è una funzione per $x\ge 0$ e il limite di $f(x)$ esiste a $\mathrm{\infty }$.

La seguente formula per la loro soluzione generale vale solo se $f^{\prime }(x)$ è una funzione continua e l'integrale converge:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x=(f(0)-f(\mathrm{\infty }))\ln \frac{b}{a}$

Una dimostrazione di questa formula si ha utilizzando il Teorema Fondamentale del Calcolo e il Teorema di Fubini.

Gli integrali prendono il nome dal matematico italiano Giuliano Frullani.

Bibliografia

• G. Boros, V. Moll, Irresistible Integrals (2004), pp. 98
• Juan Arias-de-Reyna, Sul teorema di Frullani (PDF; 884   kB), Proc. AMS 109 (1990), 165-175.