Insieme positivo e insieme negativo

Template:F In matematica, un insieme si dice positivo (rispettivamente negativo) rispetto alla misura con segno $\mu$ se ogni suo sottoinsieme ha misura non negativa (rispettivamente non positiva).

Definizione

Formalmente, sia dato uno spazio di misura $(X,𝔉,\mu )$, con $X$ insieme diverso dal vuoto, $𝔉$ una σ-algebra di sottoinsiemi di X e $\mu :𝔉⟶ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$ è una misura con segno.

• Dato un insieme $E\in 𝔉,E\subset X$, esso si dice positivo se ogni insieme $E^{*}\subset E,E^{*}\in 𝔉$ è tale che $\mu (E^{*})\ge 0.$

In modo analogo è possibile definire un insieme negativo:

• Dato un insieme $E\in 𝔉,E\subset X$, esso si dice negativo se ogni insieme $E^{*}\subset E,E^{*}\in 𝔉$ è tale che $\mu (E^{*})\le 0.$

Osservazioni

L'insieme positivo (negativo) non deve essere in alcun modo confuso con insieme di misura positiva (negativa).

Proprietà

1. L'insieme vuoto è sia un insieme negativo che positivo.
2. Ogni sottoinsieme di un insieme positivo (negativo) è ancora positivo (negativo).
3. L'unione numerabile di insiemi positivi (negativi) disgiunti è positiva (negativa).

Le proprietà 2. e 3. implicano che

4.L'unione numerabile di insiemi positivi (negativi) è ancora positiva (negativa)