Insieme localmente chiuso

Template:F In matematica, un sottoinsieme $S$ di uno spazio topologico $(X,\mathrm{T})$ si dice localmente chiuso se soddisfa le seguenti condizioni equivalenti:

• $S$ è aperto nella sua chiusura;
• $S$ è aperto in un chiuso di $X$;
• $S$ è chiuso in un aperto di $X$;
• per ogni punto $x$ di $S$ esiste un intorno aperto $U$ di x tale che $S\cap U$ è chiuso in $U$;
• $S$ è intersezione di un aperto e un chiuso di $X$.

Osservazioni

Se $S$ è un sottoinsieme localmente chiuso di $X$, allora l'insieme $\mathrm{\Omega }=(X\setminus \overline{S})\cup S$ è il più grande aperto di $X$ in cui $S$ è chiuso. Infatti, se $A$ è un altro aperto in cui $S$ è chiuso risulta $S=\overline{S}\cap A$ e quindi $\mathrm{\Omega }=(X\setminus \overline{S})\cup (\overline{S}\cap A)=((X\setminus \overline{S})\cup \overline{S}))\cap ((X\setminus \overline{S})\cup A)=(X\setminus \overline{S})\cup A$ per cui $\mathrm{\Omega }$ è aperto e $A\subseteq \mathrm{\Omega }$.

Esempi

• Nella retta reale, l'intervallo [0, 1) è localmente chiuso, in quanto intersezione dell'aperto (-a, 1) e del chiuso [0, 1+a] (con a>0).
• Il sottoinsieme $A=\{(x,y)\in {ℝ}^2:y>0,x^2+y^2\le 1\}\cup \{(x,y)\in {ℝ}^2:y\le 0,x^2+y^2<1\}$ di ${ℝ}^2$ munito della usuale topologia euclidea è localmente chiuso.
• Ogni sottovarietà differenziabile di ${ℝ}^n$ è uno spazio localmente chiuso.

Voci correlate

• Insieme aperto
• Insieme chiuso
• Chiusura (topologia) di un insieme
• Intorno topologico.