Indipendenza condizionata

In teoria della probabilità, l'indipendenza condizionata descrive casi in cui un'osservazione è irrilevante o ridondante per la valutazione della certezza di un'ipotesi. L'indipendenza condizionata viene formulata solitamente in termini della probabilità condizionata come caso speciale in cui la probabilità dell'ipotesi date osservazioni non informative è pari alla probabilità in mancanza di esse.

Definizioni

Se $A$ è l'ipotesi e $B$ e $C$ sono osservazioni, l'indipendenza condizionata può essere definita dall’uguaglianza:

$P(A\mid B,C)=P(A\mid C)$

a patto che le probabilità condizionate siano ben definite.

Dato che la probabilità di $A$ data $C$ è pari alla probabilità di $A$ date $B$ e $C$, questa uguaglianza esprime il fatto che $B$ non affatto alla certezza di $A$. In tal caso, $A$ e $B$ sono dette condizionatamente indipendenti data $C$, il che può essere denotato in simboli come segue: $(A\perp \perp B\mid C)$.

Indipendenza incondizionata

$A$ e $B$ sono incondizionatamente indipendenti se $P(A,B)=P(A)P(B)$, cioè se sono condizionatamente indipendenti in assenza di altre informazioni. Si noti che l'indipendenza incondizionata di $A$ e $B$ non implica che esse siano condizionatamente indipendenti date altre osservazioni denotate da $C$.

Indipendenza dal contesto specifico

Le definizioni precedenti possono essere estese a casi in cui $A$ e $B$ rappresentino variabili aleatorie e $C$ rappresenti un insieme di variabili casuali, per le quali si considerano specifiche assegnazioni di valori dal rispettivo dominio.

Un altro concetto correlato è quello di indipendenza dal contesto specifico. $A$ e $B$ sono indipendenti rispetto al contesto $C=c$ se $$P(A|B,C=c)=P(A|C=c)$$

sempre se le probabilità condizionate sono ben definite. La definizione è analoga a quella dell'indipendenza condizionata, ma l'uguaglianza deve valere per ogni valore assegnabile ad $A$ e $B$ dai rispettivi domini ma solo per la specifica assegnazione di valori $c$ a ciascuna variabile di $C$.