Indice di concentrazione di Gini

In statistica, l'indice di concentrazione di Gini è un indicatore che offre una misura della concentrazione di variabili quantitative trasferibili.

Esempio

Esempio: il Reddito è una variabile trasferibile (da un elemento all'altro della popolazione), mentre la statura non è trasferibile. L'indice di Gini fornisce un metodo per quantificare la concentrazione del Reddito ed è così definito (viene direttamente riportata la formula del rapporto di concentrazione di Gini, ossia l'indice normalizzato):

${𝑅}_{𝐺}=\frac{\sum _{i=1}^{n-1}(P_i-Q_i)}{\sum _{i=1}^{n-1}{P}_i},$

dove $Q_i$ sono le percentuali cumulate di $T$ (Reddito) e $P_i$ sono le percentuali cumulate di $T$ in caso di equidistribuzione.

Pertanto si ha:

${𝑄}_{𝑖}=\frac{\sum _{j=1}^i{x}_j}{T}$ e ${𝑃}_{𝑖}=\frac{i}{n},$

dove gli $x_j$ sono i dati osservati e la sommatoria va fino alla $i$-esima modalità di $X$.

L'indice è già normalizzato, in quanto la sommatoria dei $P_i$ è il massimo dell'indice, dato che, in caso di distribuzione massimante (massima concentrazione): $Q_i=0$, per $i=1,\dots ,n-1$.

Il minimo invece è $0$ perché, in caso di minima concentrazione, $P_i=Q_i$ e di conseguenza:

$P_i-Q_i=0\mathrm{\forall }i,i=1,\dots ,n-1.$

Formula rapida per il calcolo del rapporto di concentrazione di Gini

$R_G=\frac{\sum _{i=1}^{n-1}{P}_i-\sum _{i=1}^{n-1}{Q}_i}{\sum _{i=1}^{n-1}{P}_i}=$ $1-\frac{\sum _{i=1}^{n-1}{Q}_i}{\sum _{i=1}^{n-1}{P}_i}=$ $1-2\frac{\sum _{i=1}^{n-1}{Q}_i}{n-1}.$

Questo perché:

$P_i=\frac{i}{n}\Rightarrow \sum _{i=1}^{n-1}\frac{i}{n}=$ $\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^{n-1}i=$ $\frac{1}{n}\cdot \frac{n(n-1)}{2}=$ $\frac{n-1}{2}.$

Voci correlate

• Coefficiente di Gini
• Indice di eterogeneità di Gini
• Concentrazione (statistica)
• Corrado Gini