Indice di Divisia

L'indice di Divisia, dal nome dell'economista francese François-Jean-Marie Divisia, è un indice definito in ambito continuo utilizzato per la misurazione delle variazioni nei volumi e nei prezzi di determinati aggregati.

Adattamenti al caso discreto dell'indice di Divisia, e quindi sue approssimazioni empiriche, sono:

• l'indice di Laspeyres;
• l'indice di Paasche;
• l'indice di Fisher;
• l'indice di Törnqvist.

Calcolo dell'indice

Il valore di un aggregato risulta uguale alla somma delle quantità degli elementi che lo compongono moltiplicati per i rispettivi prezzi. Indicando con $X_t$ il valore dell'aggregato X al tempo t, con $p_{it}$ e $q_{it}$, rispettivamente, il prezzo e la quantità dell'elemento i al tempo t, avremo:

$X_t=\sum _i{p}_{it}{q}_{it}$

Derivando rispetto al tempo e dividendo per $X_t$ otteniamo:

$\frac{{\dot{X}}_t}{X_t}=\sum _i\frac{q_{it}}{\sum _i{p}_{it}{q}_{it}}{\dot{p}}_{it}+\sum _i\frac{p_{it}}{\sum _i{p}_{it}{q}_{it}}{\dot{q}}_{it}$

dove $\dot{x}=\frac{dx}{dt}$.

Dall'equazione precedente otteniamo:

$\frac{{\dot{X}}_t}{X_t}=\sum _i{v}_{it}\frac{{\dot{p}}_{it}}{p_{it}}+\sum _i{v}_{it}\frac{{\dot{q}}_{it}}{q_{it}}$

dove $v_{it}$ è la quota di i sul totale nel periodo t, ovvero:

$v_{it}=\frac{q_{it}{p}_{it}}{\sum _i{p}_{it}{q}_{it}}$

Essendo:

$\frac{d\log x}{dt}=\frac{\dot{x}}{x}$

una formulazione alternativa è:

(1) $\frac{d\log X_t}{dt}=\sum _i{v}_{it}\frac{d\log p_{it}}{dt}+\sum _i{v}_{it}\frac{d\log q_{it}}{dt}$

Nelle equazioni precedenti il primo addendo rappresenta la variazione dell'aggregato osservabile a seguito della variazione dei prezzi, costanti le quantità, mentre il secondo registra i cambiamenti imputabili alle variazioni nei volumi, costanti i prezzi.

In caso di un solo bene avremmo:

$X_t=P_t{Q}_t$

da cui:

(2) $\frac{d\log X_t}{dt}=\frac{d\log P_t}{dt}+\frac{d\log Q_t}{dt}$

Notando il parallelismo tra la (1) e la (2) possiamo scrivere:

$\frac{d\log P_t}{dt}=\sum _i{v}_{it}\frac{d\log p_{it}}{dt}$

$\frac{d\log Q_t}{dt}=\sum _i{v}_{it}\frac{d\log q_{it}}{dt}$

Consideriamo la prima equazione. Dato un anno base (0), la variazione dell'indice tra l'anno base ed un anno T sarà dato da:

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}\frac{d\log P_t}{dt}dt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\left(\sum _i{v}_{it}\frac{d\log p_{it}}{dt}\right)dt$

da cui, integrando, otteniamo:

$\log \frac{P_T}{P_0}=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\left(\sum _i{v}_{it}\frac{d\log p_{it}}{dt}\right)dt$

L'indice dei prezzi di Divisia è dunque uguale a:

$\frac{P_T}{P_0}=\exp \left(\underset{0}{\overset{T}{\int }}\left(\sum _i{v}_{it}\frac{d\log p_{it}}{dt}\right)dt\right)$

Analogamente, l'indice dei volumi di Divisia è dato da:

$\frac{Q_T}{Q_0}=\exp \left(\underset{0}{\overset{T}{\int }}\left(\sum _i{v}_{it}\frac{d\log q_{it}}{dt}\right)dt\right)$

Voci correlate

• Indice di Laspeyres
• Indice di Paasche
• Indice di Fisher
• Indice di Törnqvist