Identità sui logaritmi

Template:F In vari settori della matematica, in particolare nello studio delle funzioni speciali, si incontrano svariate identità sui logaritmi.

Identità algebriche

Le identità più semplici

${\log }_b(1)=0$	deriva da	$b^0=1$
${\log }_b(b)=1$	deriva da	$b^1=b$
${\log }_{1/b}(b)=-1$	deriva da	$b^{-1}=1/b$

Semplificazione di calcoli numerici

I logaritmi sono stati introdotti per semplificare i calcoli numerici. Per esempio si può ottenere il prodotto di due numeri servendosi delle tavole dei logaritmi ed effettuando una somma.

${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$	deriva da	$b^x\cdot b^y=b^{x+y}$
${\log }_b\left(\begin{array}{c}\frac{x}{y}\end{array}\right)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$	deriva da	$\begin{array}{c}\frac{b^x}{b^y}\end{array}=b^{x-y}$
${\log }_b(x^y)=y{\log }_b(x)$	deriva da	$(b^n{)}^y=b^{ny}$
${\log }_b\left(\sqrt[y]{x}\right)=\begin{array}{c}\frac{{\log }_b(x)}{y}\end{array}$	deriva da	$\sqrt[y]{x}=x^{1/y}$

Cancellazione con gli esponenziali (identità logaritmica)

La funzione esponenziale viene anche chiamata antilogaritmo; in effetti le applicazioni della funzione logaritmo e della funzione esponenziale relative alla stessa base si annullano reciprocamente.

$b^{{\log }_b(x)}=x$	deriva da	${\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b({\log }_b(x))=x$
${\log }_b(b^x)=x$	deriva da	${\log }_b({\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(x))=x$

Cambiamento della base

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Questa identità permette di calcolare i logaritmi in base qualunque su molte calcolatrici. Gran parte delle calcolatrici hanno infatti tasti per il calcolo di ln e di log₁₀, ma nessuno che permetta il calcolo diretto di log₂. Per ottenere il valore di un numero come log₂(3), si può calcolare log₁₀(3) / log₁₀(2) (o equivalentemente il calcolo di ln(3)/ln(2)).

Alla precedente formula se ne riconducono varie altre:

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$

${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

$a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$

Identità utili al calcolo infinitesimale

Limiti

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }\text{se }a>1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=+\mathrm{\infty }\text{se }0<a<1$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=+\mathrm{\infty }\text{se }a>1$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }\text{se }0<a<1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^b{\log }_{a}x=0$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x^b}{\log }_{a}x=0$

L'ultima identità viene spesso interpretata con l'affermazione che "i logaritmi crescono più lentamente di una qualunque potenza (o radice) positiva della variabile $x$".

Derivata delle funzioni logaritmiche

$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\frac{1}{x\ln a}=\frac{{\log }_{a}e}{x}$

Integrali di funzioni logaritmiche

$\int {\log }_{a}xdx=x({\log }_{a}x-{\log }_{a}e)+C$

Per rendere più mnemoniche le formule che seguono conviene introdurre la notazione:

$x^{\left[n\right]}:=x^n(\log (x)-H_n)$

dove $H_n:=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ è l'n-esimo numero armonico. Quindi si hanno le successive identità:

$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log (x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^2\log (x)-\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}{x}^2$

$x^{\left[3\right]}=x^3\log (x)-\begin{array}{c}\frac{3}{4}\end{array}{x}^3$

Di conseguenza

$\frac{d}{dx}{x}^{\left[n\right]}=n{x}^{[n-1]}$

$\int x^{\left[n\right]}dx=\frac{x^{[n+1]}}{n+1}+C$