Identità di Picone

In analisi matematica, nel settore delle equazioni differenziali ordinarie, l'identità di Picone, il cui nome si deve a Mauro Picone, è un risultato considerato classico per le equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine. È utile per studiare le oscillazioni delle loro soluzioni, ma è stata generalizzata per altri tipi di equazioni differenziali e di equazioni alle differenze.

L'identità di Picone serve per dimostrare il teorema del confronto di Sturm-Picone.

Enunciato

Si supponga che $u$ e $v$ siano le soluzioni di due equazioni differenziali omogenee lineari del secondo ordine, scritte in forma autoaggiunta:

$(p_1(x)u^{\prime }{)}^{\prime }+q_1(x)u=0$

e:

$(p_2(x)v^{\prime }{)}^{\prime }+q_2(x)v=0$

Allora, per ogni $x$ tale che $v(x)\ne 0$, vale la seguente identità:

$(\frac{u}{v}(p_1{u}^{\prime }v-p_{2}u{v}^{\prime }))=(q_2-q_1)u^2+(p_1-p_2)u{\text{'}}^2+p_2{(u^{\prime }-v^{\prime }\frac{u}{v})}^2$

Dimostrazione

Basta svolgere i calcoli:

$\begin{array}{cc}(\frac{u}{v}(p_1{u}^{\prime }v-p_{2}u{v}^{\prime }))& =(u{p}_1{u}^{\prime }-p_2{v}^{\prime }{u}^2\frac{1}{v})=\\ & =u^{\prime }{p}_1{u}^{\prime }+u(p_1{u}^{\prime }{)}^{\prime }-(p_2{v}^{\prime }{)}^{\prime }{u}^2\frac{1}{v}-p_2{v}^{\prime }2u{u}^{\prime }\frac{1}{v}+p_2{v}^{\prime }{u}^2\frac{v^{\prime }}{v^2}=\\ & =p_{1}u{\text{'}}^2-2p_2\frac{u{u}^{\prime }{v}^{\prime }}{v}+p_2\frac{u^{2}v{\text{'}}^2}{v^2}+u(p_1{u}^{\prime }{)}^{\prime }-(p_2{v}^{\prime }{)}^{\prime }\frac{u^2}{v}=\\ & =p_{1}u{\text{'}}^2-p_{2}u{\text{'}}^2+p_{2}u{\text{'}}^2-2p_2{u}^{\prime }\frac{u{v}^{\prime }}{v}+p_2{\left(\frac{u{v}^{\prime }}{v}\right)}^2-u(q_{1}u)+(q_{2}v)\frac{u^2}{v}=\\ & =(p_1-p_2)u{\text{'}}^2+p_2{(u^{\prime }-v^{\prime }\frac{u}{v})}^2+(q_2-q_1)u^2\end{array}$

Bibliografia

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Voci correlate

• Operatore autoaggiunto
• Teorema del confronto di Sturm-Picone

Collegamenti esterni

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