Identità di Lagrange

In algebra, l'identità di Lagrange è l'identità quadratica che coinvolge il prodotto vettoriale:

$\begin{array}{cc}\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^2\right)-(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k{)}^2& =\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2\\ & (=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2),\end{array}$

che si applica ad ogni coppia di insiemi {a₁, a₂, . . ., a_n} e {b₁, b₂, . . ., b_n} di numeri reali o complessi (o, più generalmente, di elementi di un anello commutativo). Questa identità è una forma speciale dell'identità di Binet–Cauchy.

Per numeri reali, l'identità si può scrivere in una notazione più compatta utilizzando il prodotto scalare,

$\Vert \overline{a}{\Vert }^2\Vert \overline{b}{\Vert }^2-\Vert (\overline{a}\cdot \overline{b}){\Vert }^2=\sum _{1\le i<j\le n}{(a_i{b}_j-a_j{b}_i)}^2,$

dove a e b sono vettori n-dimensionali le cui componenti sono numeri reali. Questa identità può essere estesa al caso complesso, come

$(\sum _{k=1}^n|a_k{|}^2\left)\right(\sum _{k=1}^n|b_k{|}^2)-|\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k{|}^2=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n|a_i{\bar{b}}_j-a_j{\bar{b}}_i{|}^2.$

Dal momento che la parte destra dell'identità è chiaramente non-negativa, essa implica la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz nello spazio euclideo finito-dimensionale ℝⁿ e la sua controparte complessa ℂⁿ.

Identità di Lagrange e algebra esterna

Utilizzando il prodotto esterno, l'identità di Lagrange può essere scritta nel modo seguente:

$(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b{)}^2=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).$

Quindi, può essere vista come una formula che dà la lunghezza del prodotto esterno di due vettori, che è l'area del parallelogrammo che essi delineano, in termini di prodotto scalare dei due vettori, come

$\Vert a\wedge b\Vert =\sqrt{(\Vert a\Vert \Vert b\Vert {)}^2-\Vert a\cdot b{\Vert }^2}.$

Identità di Lagrange e calcolo vettoriale

Nelle tre dimensioni, l'identità di Lagrange asserisce che il quadrato dell'area di un parallelogrammo nello spazio è uguale alla somma dei quadrati delle sue proiezioni all'interno del sistema di coordinamento Cartesiano. Algebricamente, se a e b sono vettori in ℝ³ di lunghezza |a| e |b|, allora l'identità di Lagrange può essere scritta in termini del prodotto vettoriale e del prodotto scalare:

$\Vert \overline{a}{\Vert }^2\Vert \overline{b}{\Vert }^2-\Vert (\overline{a}\cdot \overline{b}){\Vert }^2=|\overline{a}\times \overline{b}{|}^2.$

Usando la definizione di angolo basata sul prodotto scalare, la parte sinistra è

$|\overline{a}{|}^2|\overline{b}{|}^2(1-{\cos }^2\theta )=|\overline{a}{|}^2|\overline{b}{|}^2{\sin }^2\theta$

dove θ è l'angolo formato dai vettori a e b. L'area del parallelogramma di lati |a| e |b| e di angolo θ si sa essere, secondo la geometria elementare,

$|\overline{a}||\overline{b}||\sin \theta |,$

allora la parte sinistra dell'identità di Lagrange è il quadrato dell'area del parallelogramma. Il prodotto vettoriale che compare nella parte destra è definito da

$\overline{a}\times \overline{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2)\overline{i}+(a_3{b}_1-a_1{b}_3)\overline{j}+(a_1{b}_2-a_2{b}_1)\overline{k}$

che è un vettore le cui componenti sono uguali in magnitudine alle aree delle proiezioni del parallelogrammo all'interno dei piani yz, zx e xy, rispettivamente.

Voci correlate

• Identità di Brahmagupta
• Momento d'inerzia
• Energia cinetica
• Secondo teorema di König

Collegamenti esterni

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