Identità di Brahmagupta

In matematica, lTemplate:'identità di Brahmagupta, detta anche identità di Fibonacci, afferma che il prodotto di due numeri, ognuno dei quali è la somma di due quadrati di numeri naturali, si può esprimere come somma di quadrati (ed in due modi distinti). In altre parole, l'insieme delle somme di due quadrati è chiuso rispetto alla moltiplicazione. In particolare:

$\begin{array}{cc}(a^2+b^2)(c^2+d^2)& ={(ac-bd)}^2+{(ad+bc)}^2(1)\\ & ={(ac+bd)}^2+{(ad-bc)}^2.(2)\end{array}$

Ad esempio,

$(1^2+4^2)(2^2+7^2)=30^2+1^2=26^2+15^2.$

Questa identità è utilizzata nella dimostrazione del teorema di Fermat sulle somme di due quadrati. L'identità è valida in qualunque anello commutativo, ma è particolarmente utile nell'insieme dei numeri interi.

Questa identità è un caso speciale (n = 2) dell'identità di Lagrange. Brahmagupta dimostrò ed utilizzò un'identità più generale:

$\begin{array}{cc}(a^2+n{b}^2)(c^2+n{d}^2)& ={(ac-nbd)}^2+n{(ad+bc)}^2(3)\\ & ={(ac+nbd)}^2+n{(ad-bc)}^2,(4)\end{array}$

che mostra che l'insieme di tutti i numeri della forma $x^2+n{y}^2$ è chiuso rispetto alla moltiplicazione.

L'identità dei quattro quadrati di Eulero è un'identità analoga con quattro quadrati anziché due. Inoltre, vi è un'identità con otto quadrati, derivata dagli ottonioni, ma non ha implicazioni particolarmente interessanti per i numeri interi perché ogni numero naturale è somma di quattro quadrati (vedi Teorema dei quattro quadrati). Essa è correlata alla periodicità di Bott.

Storia

Quest'identità è stata scoperta dal matematico e astronomo indiano Brahmagupta (598-668), che la generalizzò. La sua opera Brāhmasphuṭasiddhānta fu successivamente tradotta, dal Sanscrito, in arabo da Muḥammad ibn Ibrāhīm al-Fazārī, in seguito in persiano, e infine in latino nel 1126. L'identità riapparve nel 1225 all'interno del Liber Quadratorum di Leonardo Pisano, meglio noto come Fibonacci (1170-1250). Tuttavia, è possibile che l'identità fosse già nota a Diofanto di Alessandria nel III secolo (Arithmetica - III, 19).

Relazione con i numeri complessi

Se a, b, c e d sono numeri reali, questa identità è equivalente alla proprietà della moltiplicazione dei valori assoluti dei numeri complessi:

$|a+bi||c+di|=|(a+bi)(c+di)|$

dato che

$|a+bi||c+di|=|(ac-bd)+i(ad+bc)|,$

elevando al quadrato entrambi i membri

$|a+bi{|}^2|c+di{|}^2=|(ac-bd)+i(ad+bc){|}^2,$

e ricorrendo alla definizione di valore assoluto,

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2.$

Applicazione all'equazione di Pell

Nel suo contesto originale, Brahmagupta applicò la sua scoperta alla soluzione dell'equazione di Pell,

$x^2-N{y}^2=1.$

Usando l'identità nella forma più generale

$(x_1^2-N{y}_1^2)(x_2^2-N{y}_2^2)=(x_1{x}_2+N{y}_1{y}_2{)}^2-N(x_1{y}_2+x_2{y}_1{)}^2,$

osservò che, date due triple (x₁, y₁, k₁) e (x₂, y₂, k₂), soluzioni di x² − Ny² = k, allora anche

$(x_1{x}_2+N{y}_1{y}_2,x_1{y}_2+x_2{y}_1,k_1{k}_2)$

è una soluzione della medesima equazione.

Questo non permise soltanto di generare infinite soluzioni di x² − Ny² = 1 partendo da una sola soluzione, ma anche, dividendo ogni membro per k₁k₂, di ottenere spesso soluzioni intere o "quasi intere". Il metodo generale per risolvere l'equazione di Pell, ad opera di Bhāskara II nel 1150, chiamato metodo Chakravala, è basato anche su questa identità.

Collegamenti esterni

• Brahmagupta's identity at PlanetMath
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