Identità dei quattro quadrati di Eulero

Template:F In matematica, lTemplate:'identità dei quattro quadrati di Eulero afferma che il prodotto di due numeri, ognuno dei quali scrivibile come somma di quadrati, si può scrivere come somma di quadrati. In particolare:

$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=$

$=(a_1{b}_1-a_2{b}_2-a_3{b}_3-a_4{b}_4{)}^2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1+a_3{b}_4-a_4{b}_3{)}^2$

$+(a_1{b}_3-a_2{b}_4+a_3{b}_1+a_4{b}_2{)}^2+(a_1{b}_4+a_2{b}_3-a_3{b}_2+a_4{b}_1{)}^2$

Eulero scrisse di quest'identità il 12 aprile 1749 nella lettera CXXV a Goldbach. Essa si può dimostrare con semplici passaggi di algebra elementare ed è valida in ogni anello commutativo. Se le a e le b sono numeri reali, esiste una dimostrazione più elegante: l'identità esprime il fatto che il valore assoluto del prodotto di due quaternioni è uguale al prodotto dei loro valori assoluti, così come fa l'identità di Brahmagupta per i numeri complessi.

L'importanza di questa identità nell'ambito della teoria dei numeri è legata al suo uso nella dimostrazione di Lagrange del suo teorema dei quattro quadrati.

Voci correlate

• Identità di Brahmagupta
• Teorema dei quattro quadrati
• Identità degli otto quadrati di Degen

Collegamenti esterni

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