Identità di Sophie Germain

Template:S L'identità di Sophie Germain è la seguente identità:

$a^4+4b^4=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$

Non è immediato ricavare questa fattorizzazione, dal momento che, diversamente dalla differenza di due quadrati, la somma di due quadrati non si può (in generale) scomporre, se non ricorrendo ai numeri complessi: $x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)$. Ciò non è vero se anche $2xy$ è un quadrato, poiché in questo caso è sufficiente aggiungere e sottrarre $2xy$.

Si può ricavare l'identità tramite completamento del quadrato:

$\begin{array}{cc}{a}^4+4b^4& ={(a^2)}^2+{(2b^2)}^2={(a^2)}^2+2(2a^2{b}^2)+{(2b^2)}^2-4a^2{b}^2=\\ & ={(a^2+2b^2)}^2-{(2ab)}^2=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)\end{array}$

Un'applicazione

Questa identità permette di risolvere un problema posto nel 1977 nella competizione matematica József Kürschák: dimostrare che $n^4+4^n$ è composto se $n>1$.

Se $n$ è pari, allora, banalmente, $n^4+4^n$ è divisibile per 2. Se, invece, $n$ è dispari, allora, posto $n=2k+1$, si ha:

$n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4\cdot {(2^k)}^4$

che, essendo della forma $a^4+4b^4$, si può fattorizzare con l'identità di Sophie Germain:

$n^4+4\cdot {(2^k)}^4=(n^2+2\cdot 2^{2k}+2\cdot n\cdot 2^k)(n^2+2\cdot 2^{2k}-2\cdot n\cdot 2^k)$

Il risultato discende in maniera immediata dall'osservazione secondo cui, per $n>1$, entrambi i fattori sono interi maggiori di 1.

Bibliografia

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Voci correlate

• Prodotto notevole
• Sophie Germain