Identità di Cassini

L'identità di Cassini, scoperta nel 1680 dal matematico ed astronomo italiano Giovanni Cassini, è un'identità che si applica ai numeri di Fibonacci.

La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi naturali definita assegnando ai primi due valori

$F_0=0$, $F_1=1$

e successivamente definendo i restanti valori della successione come la somma dei due precedenti e cioè:

$F_n:=F_{n-1}+F_{n-2}$ $\mathrm{\forall }n\ge 2$

L'identità di Cassini asserisce che per ogni n ≥ 2 si ha:

$F_{n+1}\cdot F_{n-1}-F_n^2=(-1{)}^n$

Dimostrazione

Dimostriamo la proprietà procedendo per induzione su n.

Base Induttiva:

Per n = 2 si ha: $F_3\cdot F_1-F_2^2=2\cdot 1-1=1=(-1{)}^2$. Quindi l'enunciato è valido per n = 2.

Passo Induttivo:

Supponiamo che la proprietà sia valida per un certo n, ossia che valga $F_{n+1}\cdot F_{n-1}-F_n^2=(-1{)}^n$, e dimostriamo che allora vale anche per n + 1, cioè che si ha $F_{n+2}\cdot F_n-F_{n+1}^2=(-1{)}^{n+1}$.

Da come è definita la successione di Fibonacci, si ricava che $F_{n-1}=F_{n+1}-F_n$; sostituendo nell'ipotesi induttiva si ottiene:

$F_{n+1}\cdot (F_{n+1}-F_n)-F_n^2=(-1{)}^n$

da cui segue che

$F_{n+1}^2-F_{n+1}\cdot F_n-F_n^2=F_{n+1}^2-F_n\cdot (F_{n+1}+F_n)=(-1{)}^n$

Ma $F_{n+1}+F_n=F_{n+2}$, dunque:

$F_{n+1}^2-F_n\cdot F_{n+2}=(-1{)}^n$

e moltiplicando ambo i membri per $-1$ si ha

$F_n\cdot F_{n+2}-F_{n+1}^2=(-1{)}^{n+1}$.

Generalizzazioni

Nel 1879, il matematico belga Eugene Catalan propose la seguente generalizzazione:

$F_{n-r}{F}_{n+r}-F_n^2=(-1{)}^{n-r+1}{F}_r^2$

che, ponendo $r=1$, diventa

$F_{n-1}{F}_{n+1}-F_n^2=(-1{)}^n{F}_1^2=(-1{)}^n$

cioè l'identità di Cassini.

Più recentemente, nel 1989, Steven Vajda ha pubblicato questa ulteriore generalizzazione:

$F_{n+i}{F}_{n+j}-F_n{F}_{n+i+j}=(-1{)}^n{F}_i{F}_j$

Ovviamente anche da questa identità si ricavano come casi particolari le altre due:

• l'identità di Cassini si ottiene ponendo $i=-1,j=1$
• l'identità di Catalan si ottiene ponendo $i=-r,j=r$

applicando l'estensione di Fibonacci agli indici negativi: $F_{-n}=(-1{)}^{n+1}{F}_n$ .

Dimostrazione dell'identità generalizzata

Vogliamo dimostrare che

$F_{n+i}{F}_{n+j}-F_n{F}_{n+i+j}=(-1{)}^n{F}_i{F}_j$

Poniamo

$\begin{array}{c}\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \phi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}$

Applicando la Formula di Binet, secondo cui si ha che

$F_n=\frac{{\mathrm{\Phi }}^n-{\phi }^n}{\sqrt{5}}$

e osservando che $\mathrm{\Phi }\phi =-1$, per il primo prodotto al primo membro risulta

$5F_{n+i}{F}_{n+j}=({\mathrm{\Phi }}^{n+i}-{\phi }^{n+i})({\mathrm{\Phi }}^{n+j}-{\phi }^{n+j})={\mathrm{\Phi }}^{2n+i+j}+{\phi }^{2n+i+j}-(\mathrm{\Phi }\phi {)}^n({\mathrm{\Phi }}^j{\phi }^i+{\mathrm{\Phi }}^i{\phi }^j)={\mathrm{\Phi }}^{2n+i+j}+{\phi }^{2n+i+j}-({\mathrm{\Phi }}^j{\phi }^i+{\mathrm{\Phi }}^i{\phi }^j)(-1{)}^n$

Per il secondo prodotto a primo membro abbiamo

$5F_n{F}_{n+i+j}=({\mathrm{\Phi }}^n-{\phi }^n)({\mathrm{\Phi }}^{n+i+j}-{\phi }^{n+i+j})={\mathrm{\Phi }}^{2n+i+j}+{\phi }^{2n+i+j}-(\mathrm{\Phi }\phi {)}^n({\mathrm{\Phi }}^{i+j}+{\phi }^{i+j})={\mathrm{\Phi }}^{2n+i+j}+{\phi }^{2n+i+j}-({\mathrm{\Phi }}^{i+j}+{\phi }^{i+j})(-1{)}^n$

Sottraendo la seconda espressione dalla prima, si ottiene

$5(F_{n+i}{F}_{n+j}-F_n{F}_{n+i+j})=({\mathrm{\Phi }}^{i+j}+{\phi }^{i+j}-{\mathrm{\Phi }}^j{\phi }^i-{\mathrm{\Phi }}^i{\phi }^j)(-1{)}^n=(-1{)}^n[{\mathrm{\Phi }}^i({\mathrm{\Phi }}^j-{\phi }^j)-{\phi }^j({\mathrm{\Phi }}^i-{\phi }^i)]=(-1{)}^n({\mathrm{\Phi }}^i-{\phi }^i)({\mathrm{\Phi }}^j-{\phi }^j)=5(-1{)}^n{F}_i{F}_j$

e infine, dividendo per $5$,

$$F_{n+i}{F}_{n+j}-F_n{F}_{n+i+j}=(-1{)}^n{F}_i{F}_j$$

Collegamenti esterni

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