Gruppo sporadico

Da testwiki.
Vai alla navigazione Vai alla ricerca

In matematica, e in particolare in teoria dei gruppi, con gruppo sporadico si intende un gruppo semplice finito che è uno dei 26 casi eccezionali del teorema di classificazione dei gruppi semplici finiti. Questo teorema afferma infatti che, se G è un gruppo semplice finito allora, G è

I primi cinque gruppi sporadici furono scoperti da Emile Léonard Mathieu nel 1861 e nel 1873. I successivi furono scoperti tra il 1965 ed il 1975, generalmente prendono il nome dai loro scopritori.

Per via della loro struttura anomala, i gruppi sporadici sono oggetti matematici che presentano tuttora aspetti misteriosi e, presumibilmente ricchi di interessanti conseguenze. A tal proposito val la pena ricordare il problema del Monstrous moonshine per il Mostro recentemente risolto da Richard Borcherds.

Lista ed ordini dei gruppi sporadici

I cinque gruppi di Mathieu:

  • M11, di ordine 24⋅32⋅5⋅11;
  • M12, di ordine 26⋅33⋅5⋅11;
  • M22, di ordine 27⋅32⋅5⋅7⋅11;
  • M23, di ordine 27⋅32⋅5⋅7⋅11⋅23;
  • M24, di ordine 210⋅33⋅5⋅7⋅11⋅23.

I quattro gruppi di Janko:

  • J1, di ordine 23⋅3⋅5⋅7⋅11⋅19;
  • J2, di ordine 27⋅33⋅52⋅7;
  • J3, di ordine 27⋅35⋅5⋅17⋅19;
  • J4, di ordine 221⋅33⋅5⋅7⋅113⋅23⋅29⋅31⋅37⋅43.

I tre gruppi di Conway:

  • Co3, di ordine 210⋅37⋅53⋅7⋅11⋅23;
  • Co2, di ordine 218⋅36⋅53⋅7⋅11⋅23;
  • Co1, di ordine 221⋅39⋅54⋅72⋅11⋅13⋅23.

Il gruppo di Higman-Sims:

  • HS, di ordine 29⋅32⋅53⋅7.

Il gruppo di McLaughlin:

  • HS, di ordine 27⋅36⋅53⋅7⋅11.

Il gruppo di Suzuki:

  • Suz, di ordine 213⋅37⋅52⋅7⋅11⋅13.

Il gruppo di Held:

  • He, di ordine 210⋅33⋅52⋅73⋅17.

Il gruppo di Lyons:

  • Ly, di ordine 28⋅37⋅56⋅7⋅11⋅31⋅37⋅67.

Il gruppo di Rudvalis:

  • Ru, di ordine 214⋅33⋅53⋅7⋅13⋅29.

Il gruppo di O'Nan:

  • O′N, di ordine 29⋅34⋅5⋅73⋅11⋅19⋅31.

I tre gruppi di Fischer:

  • Fi22, di ordine 217⋅39⋅52⋅7⋅11⋅13;
  • Fi23, di ordine 218⋅313⋅52⋅7⋅11⋅13⋅17⋅23;
  • Fi2′4, di ordine 221⋅316⋅52⋅73⋅11⋅13⋅17⋅23⋅29.

Il gruppo di Harada-Norton:

  • HN, di ordine 214⋅36⋅56⋅7⋅11⋅19.

Il gruppo di Thompson:

  • Th, di ordine 215⋅310⋅53⋅72⋅13⋅19⋅31.

Il Baby Mostro:

  • B, di ordine 241⋅313⋅56⋅72⋅11⋅13⋅17⋅19⋅23⋅31⋅47.

Il Mostro di Fischer-Griess:

  • M, di ordine 246⋅320⋅59⋅76⋅112⋅133⋅17⋅19⋅23⋅29⋅31⋅41⋅47⋅59⋅71.

Relazioni tra i gruppi sporadici

Può essere interessante notare che, contrariamente a quanto il loro nome possa far supporre, i gruppi sporadici hanno diversi legami tra loro e con gli altri gruppi semplici finiti. Ad esempio M11 può venire costruito a partire dall'automorfismo esterno eccezionale di Alt6 e tutti i gruppi di Mathieu possono essere costruiti ricorsivamente come gruppi di automorfismi di sistemi di Steiner. Co1 è il quoziente modulo un centro di ordine 2 del gruppo degli automorfismi del Reticolo di Leech (un reticolo intero 24-dimensionale di uno spazio euclideo di dimensione 24). Come stabilizzatori di certi sottoreticoli di dimensione 1 e 2 del Reticolo di Leech si possono trovare Co2, Co3, McL, HS, e come certi sottogruppi locali di Co1, anche J2 e Suz. Inoltre il Reticolo di Leech può essere costruito a partire dal sistema di Steiner S(24,8,5) associato a M24. Esclusi i 6 gruppi J1, O′N, J3, Ly, Ru e J4 (i cosiddetti Pariah), i restanti 20 gruppi sporadici sono contenuti come sezioni nel Mostro e molti di questi compaiono come fattori di composizione nei sottogruppi locali del Mostro: ad esempio il Baby Mostro e Co1 compaiono come quozienti di centralizzanti di opportuni elementi di ordine 2 del Mostro, similmente nei normalizzanti dei sottogruppi di ordine 3 compaiono Fi2′4 e Suz e, per opportuni sottogruppi di ordine 5, 7 e 11 si possono trovare in modo analogo rispettivamente J2, He e M12. Allo stesso modo, nelle sezioni di sottogruppi locali del Baby Mostro si possono inoltre trovare: Co2 e HN nei centralizzanti di elementi di ordine 2, Fi22 nei normalizzanti di opportuni elementi di ordine 3 e HS in quelli di ordine 5.

Bibliografia

  • Michael Aschbacher:Sporadic groupsCambridge University Press, Cambridge 1994
  • John Horton Conway: A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 61 (1968), 398-400.
  • John Horton Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; Wilson, R. A., Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. Eynsham: Oxford University Press, 1985, ISBN 0-19-853199-0
  • Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon The Classification of the Finite Simple Groups, Number 3 Memoirs Amer. Math. Soc. vol. 40 number 3, 1998
  • Robert L. Griess: "Twelve Sporadic Groups", Springer-Verlag, 1998.

Collegamenti esterni

Template:Algebra Template:Portale

Estratto da "https://it.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Gruppo_sporadico&oldid=4158"