Gittata

Traiettoria parabolica percorsa da un proiettile nel vuoto

La gittata è la distanza longitudinale percorsa da un corpo lanciato in aria, avente quindi velocità con componente vettoriale in ascissa e in ordinata. In campo militare, la gittata di un'arma (o portata) corrisponde alla distanza massima cui un'arma può colpire un bersaglio.

Approccio cinematico

La gittata è equivalente alla differenza tra punto di arrivo e punto di partenza, dove il punto di arrivo coincide con il punto di contatto con il suolo e il punto di partenza coincide col punto in cui avviene il lancio. L'intervallo temporale in cui il corpo è in aria è detto tempo di volo.

Per ricavare la gittata di un proiettile nel vuoto basta risolvere il sistema costituito dall'equazione della traiettoria e dall'equazione dell'asse delle ascisse (ricavando in particolare il valore che assume $x$).

$y=(\tan \theta )x-\frac{g}{2v_0^2{\cos }^2\theta }{x}^2$

Imponendo $y=0$, cioè stabilendo il teorico punto di atterraggio del corpo lanciato, l'equazione diventa:

$x[(\tan \theta )-\left(\frac{g}{2v_0^2{\cos }^2\theta }\right)x]=0$

Escludendo quindi la possibilità che il valore di $x$ sia uguale a zero (tale valore corrisponde al punto iniziale della traiettoria), l'equazione risulta:

$(\tan \theta )-\left(\frac{g}{2v_0^2{\cos }^2\theta }\right)x=0$

Ora occorre semplicemente isolare il valore della gittata $x$. In questo modo si ha la formula:

$x=\frac{2v_0^2\sin (\theta )\cos (\theta )}{g}$

semplificabile in:

$x=\frac{v_0^2\sin (2\theta )}{g}$

dove $x$ rappresenta la gittata, $v_0$ la velocità iniziale dell'oggetto (ad esempio la velocità di uscita di un proiettile dalla bocca di un cannone), $g$ è l'accelerazione di gravità sulla Terra (circa $9.81m/s^2$) ed infine $\theta$ è l'angolo iniziale della traiettoria rispetto al terreno. Questa equazione non è però valida se la quota finale considerata è diversa dalla quota di lancio; si può inoltre ragionevolmente assumere che per basse velocità essa sia valida anche nel moto attraverso l'aria, mentre a velocità più elevate la differenza tra il moto ipotizzato e quello effettivamente percorso aumenta. Nel caso invece in cui il lancio del proiettile avvenga ad una quota $h$, la gittata si trova risolvendo rispetto a $x$ l'equazione di secondo grado:

$-\frac{g}{2v_0^2{\cos }^2\theta }{x}^2+x\tan \theta +h=0$

dove $v_0$ è la velocità con cui viene sparato il proiettile, $\theta$ l'angolo di tiro e $h$ l'altezza (rispetto al suolo) a cui avviene il tiro. L'equazione avrà due radici, una delle quali va scartata perché avente valore negativo, e pertanto priva di senso.

Si noti che $x$, a parità di velocità iniziale, ha valore massimo per $\sin (2\theta )=1$, cioè quando $2\theta =\frac{\pi }{2}\equiv 90^{\circ }$, che corrisponde a $\theta =\frac{\pi }{4}\equiv 45^{\circ }$. Inoltre a parità di velocità iniziale il valore di $x$ è medesimo con angoli di lancio $\theta$ ed il loro complementare $90^{\circ }-\theta \equiv \frac{\pi }{2}-\theta$.

Nel caso in cui il proiettile venga lanciato da un'altezza h diversa da 0, la massima gittata si ha invece per:

cos(θ) = $\sqrt{\frac{2gh+v_0^2}{2gh+2{v_0}^2}}$

Nel semplice caso in cui un proiettile venga sparato con velocità orizzontale da un'altezza $h$, la gittata può essere calcolata direttamente con la formula:

$x=\sqrt{\frac{2h{v}_0^2}{g}}$

Bibliografia

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