Geometria della distanza

Template:F La geometria della distanza è lo studio di insiemi di significato geometrico che si basa esclusivamente su valori assegnati alle distanze tra coppie di punti. La geometria della distanza ha immediata rilevanza nelle applicazioni nelle quali i valori delle distanze sono assegnati o devono essere determinati; questo accade, per esempio, nelle misurazioni che si effettuano in geodesia, in cartografia e in fisica.

Di particolare utilità e importanza sono le classificazioni effettuate servendosi dei determinanti di Cayley-Menger:

• Un insieme Λ costituito almeno da tre elementi distinti è detto

rettilineo se

per ogni terna {A, B, C} di elementi di Λ si ha

$\det \left[\begin{array}{cccc}0& d(AB{)}^2& d(AC{)}^2& 1\\ d(AB{)}^2& 0& d(BC{)}^2& 1\\ d(AC{)}^2& d(BC{)}^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right]=0$ .

• Un insieme Π costituito almeno da quattro elementi distinti è detto

piano se

per ogni quattro suoi elementi A, B, C e D accade che

$\det \left[\begin{array}{ccccc}0& d(AB{)}^2& d(AC{)}^2& d(AD{)}^2& 1\\ d(AB{)}^2& 0& d(BC{)}^2& d(BD{)}^2& 1\\ d(AC{)}^2& d(BC{)}^2& 0& d(CD{)}^2& 1\\ d(AD{)}^2& d(BD{)}^2& d(CD{)}^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right]=0$ ,

ma se non tutte le terne di elementi di Π formano insiemi rettilinei.

• Un insieme Φ costituito almeno da cinque elementi distinti è detto

piatto se

per ogni cinque suoi elementi A, B, C, D e E si ha

$\det \left[\begin{array}{cccccc}0& d(AB{)}^2& d(AC{)}^2& d(AD{)}^2& d(AE{)}^2& 1\\ d(AB{)}^2& 0& d(BC{)}^2& d(BD{)}^2& d(BE{)}^2& 1\\ d(AC{)}^2& d(BC{)}^2& 0& d(CD{)}^2& d(CE{)}^2& 1\\ d(AD{)}^2& d(BD{)}^2& d(CD{)}^2& 0& d(DE{)}^2& 1\\ d(AE{)}^2& d(BE{)}^2& d(CE{)}^2& d(DE{)}^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right]=0,$

ma non tutte le quaterne di elementi di Φ costituiscono insiemi piani ad ogni altro.

Analoghe definizioni si possono dare per multiple più estese di punti.