Funzioni di Bourget-Giuliani

Le funzioni di Bourget-Giuliani furono introdotte nel 1861 dal matematico francese Bourget, in relazione ai problemi di astronomia. Sono definite dall'integrale:

$J_{n,k}(z)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(\cos \theta {)}^k\cos (n\theta -z\sin \theta )d\theta$ dove $n\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{N}$.

Per $k=0$, le funzioni di Bourget-Giuliani si riducono alle funzioni di Bessel:

$J_{n,0}(z)=J_n(z)$.

Nel 1888, il matematico italiano Giuliani dimostrò che le funzioni di Bourget-Guiliani sono soluzione dell'equazione differenziale del quarto ordine:

$z^2\frac{d^4}{d{z}^4}{J}_{n,k}(z)+(2k+5)z\frac{d^3}{d{z}^3}{J}_{n,k}(z)+[2z^2+(k+2{)}^2-n^2]\frac{d^2}{d{z}^2}{J}_{n,k}(z)+(2k+5)z\frac{d}{dz}{J}_{n,k}(z)+(z^2+k+2-n^2)J_{n,k}(z)=0$

La trasformata di Laplace delle funzioni di Bourget-Giuliani fu ottenuta nel 1935 dal matematico francese Humbert. Nel 1938, il matematico americano J. Rosen ha definito le funzioni di Bourget-Guiliani per ogni $n,k\in ℝ$ a partire dall'equazione di Giuliani.

Bibliografia

• Template:Fr J. Bourget Mémoire sur les nombres de Cauchy J. Math. Pures App. 6 p. 33 (1861)
• G. Giuliani Alcune osservazioni sopra le funzioni sferiche di ordine superiore al seconde e sopra altre funzioni che se ne possono dedurre, Giornale di Mat. (Battaglini) 26 p. 155 (1888).
• Template:En G. N. Watson The Theory of Bessel functions ch. 10, p. 326 (Cambridge University Press, 1922)
• Template:En P. Humbert Some new operational representations Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 4, p. 232 (1935)
• Template:Fr N. W. Mc Lachlan e P. Humbert Formulaire pour le calcul symbolique coll. Mémorial des sciences mathématiques, fasc. 100, p. 31 (Gauthier-Villars, Parigi, 1950)
• Template:En J. Rosen Template:Collegamento interrotto Tohoku Math. J. 45, p. 229 (1939)

Collegamenti esterni

• Template:En Bourget Functions su MathWorld