Funzione sinc

La funzione sinc normalizzata (blu) e quella non normalizzata (rosso).

In matematica la funzione sinc (o seno cardinale), indicata come $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)$ o, più raramente, con $\mathrm{S}\mathrm{a}(x)$, può essere definita in due modi.

La funzione sinc normalizzata, usata nell'elaborazione numerica dei segnali e nella teoria dell'informazione è definita come:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}& \text{ se }x\ne 0\\ 1& \text{ se }x=0\end{array}$

mentre la funzione sinc non normalizzata, da molto tempo usata in parecchi ambiti è:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin (x)}{x}& \text{ se }x\ne 0\\ 1& \text{ se }x=0\end{array}$

In entrambi i casi il limite della funzione in $0$ è uguale a $1$, ciò è immediata conseguenza del calcolo del limite notevole e quindi risulta essere una singolarità eliminabile. La sinc è quindi una funzione analitica ovunque.

Proprietà

• La funzione sinc non normalizzata assume il valore zero per multipli, non nulli, di $\pi$; quella normalizzata per valori interi, sempre diversi da zero.

• I massimi e minimi locali per la funzione sinc non-normalizzata si trovano nei punti di intersezione con la funzione coseno. Quindi $\frac{\sin (\xi )}{\xi }=\cos (\xi )$ per ogni $\xi$ per cui la derivata di $\frac{\sin (\xi )}{\xi }$ è nulla.

• La funzione sinc normalizzata può essere rappresentata come prodotto infinito:

$\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\prod _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})$

oppure utilizzando la funzione gamma

$\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1+x)\mathrm{\Gamma }(1-x)}$

• La trasformata di Fourier della funzione sinc normalizzata è uguale a $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(f)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(t)e^{-2\pi ift}dt=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(f)$

dove la funzione rettangolo assume il valore unitario per argomenti tra $-\frac{1}{2}$ e $\frac{1}{2}$. Questo integrale di Fourier include il caso speciale

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}dx=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(0)=1$

che è un integrale improprio. Poiché

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\left|\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}\right|dx=+\mathrm{\infty }$

non si tratta di un integrale di Lebesgue.

Voci correlate

• Seno (matematica)
• Teoria dei segnali
• Filtro sinc
• Punto di discontinuità
• Integrale di Borwein

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni