Funzione gudermanniana

La funzione gudermanniana collega le funzioni trigonometriche alle funzioni iperboliche senza ricorrere ai numeri complessi.

Viene definita come

$\mathrm{g}\mathrm{d}(x)=2\arctan e^x-\frac{\pi }{2}.$

Dalla definizione discendono le seguenti identità:

$\sinh (x)=\tan (\text{gd}(x))$

$\cosh (x)=\sec (\text{gd}(x))$

$\text{csch}(x)=\cot (\text{gd}(x))$

$\tanh (x)=\sin (\text{gd}(x))$

$\text{sech}(x)=\cos (\text{gd}(x))$

$\coth (x)=\csc (\text{gd}(x))$

La sua funzione inversa è

${\mathrm{g}\mathrm{d}}^{-1}(x)=\ln (\tan x+\sec x),$

Questa è il nucleo della proiezione di Mercatore.

Si dimostrano inoltre le seguenti identità:

$\frac{d}{dx}\text{gd}(x)=\text{sech}(x)$

$\frac{d}{dx}{\text{gd}}^{-1}(x)=\sec (x)$

Bibliografia

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.