Funzione di Thomae

Grafico a punti della funzione su (0,1)

La funzione di Thomae, da Carl Johannes Thomae, ha molti nomi, come la funzione popcorn, la funzione di Dirichlet modificata e la funzione Riemann. Questa funzione a valori reali è definita come

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{q},& \text{se }x=\frac{p}{q}\text{ razionale e ridotta ai minimi termini con }p\in \mathbb{Z}\text{ e }q>0,\\ 1,& x=0,\\ 0,& \text{se }x\text{ irrazionale.}\end{array}$

È una variante della funzione di Dirichlet, che vale 1 sui razionali e 0 per gli altri valori.

Discontinuità sui razionali

La funzione popcorn ha un insieme complicato di discontinuità: $f$ è continua su tutti i numeri irrazionali e discontinua su tutti i numeri razionali.

La verifica della discontinuità può essere fatta utilizzando la continuità sequenziale, posto $x_{\mathrm{\infty }}=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$ e $\xi \in ̸\mathbb{Q}$, si costruisce la successione

$x_n=\{x_{\mathrm{\infty }}+\frac{\xi }{n}\}.$

Essa è tale da verificare le due seguenti proprietà:

$x_n\in ̸\mathbb{Q}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x_{\mathrm{\infty }}.$

E come si vede fornisce un esempio di successione che non rispetta la condizione di continuità sequenziale in quanto per essa si ha:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }0=0=\frac{1}{q}=f(x_{\mathrm{\infty }}).$

Continuità sugli irrazionali

Ricordiamo che, per definizione, una funzione è continua in un punto se:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x:|x_0-x|<\delta \Rightarrow |f(x_0)-f(x)|<\epsilon .$

Sia dunque $x_0\in ̸\mathbb{Q},$ non è difficile convincersi che la seguente definizione di intorno risolve il problema:

$\delta :=\frac{1}{2}\inf \{|x-x_0|,x:f(x)\ge \epsilon \}.$

Assegnati $\epsilon$ e $x_0$, il numero reale $\delta$ può essere ottenuto esplicitamente nel seguente modo:

• Si definisce l'intero non negativo:

$\overline{\epsilon }:=\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor ,$

dove con il simbolo $\lfloor \cdot \rfloor$ si indica la funzione parte intera.

• Si definisce allora il seguente sottoinsieme sui razionali:

$\mathbb{Q}(\epsilon )=\{\frac{p}{q}\text{ con }p,q\in \mathbb{N}\text{ e tali che }p\le q\le \overline{\epsilon }\},$

cioè l'insieme di tutte le frazioni minori di 1 con denominatore non più grande di $\overline{\epsilon }$. Non è difficile dimostrare che tale insieme è finito.

• Si può quindi calcolare:

$\delta :=\frac{1}{2}\min \{|x_0-\lfloor x_0\rfloor -x|,x\in \mathbb{Q}(\epsilon )\},$

che è lo stesso di quello definito precedentemente.

Integrabilità

Contrariamente alla funzione indicatrice dei numeri razionali in $[0,1]$, la funzione di Thomae risulta Riemann-integrabile su tale intervallo e con integrale nullo. Preso infatti un numero naturale $n\ge 2$ e considerati i numeri razionali $\alpha =\frac{p}{q}\in [0,1]$ con $\gcd (p,q)=1$ e $q\le n$, gli intervalli chiusi $I_{\alpha }$ centrati in $\alpha$ e aventi raggio $\frac{4}{n^2}$ ricoprono $[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}]$. Tali intervalli possono essere opportunamente ristretti in modo da produrre una partizione di $[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}]$ in intervalli di ampiezza $\le \frac{8}{n^2}$, e la somma di Riemann superiore associata a tale partizione è limitata da

$\frac{8}{n^2}\sum _{m=1}^n\frac{\phi (m)}{m}\le \frac{8}{n}c,$

che è una quantità convergente a zero per $n\to +\mathrm{\infty }$.

Altro

Il grafico della funzione di Thomae presenta una dimensione frattale di 3/2.

Bibliografia

• Template:En Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert (1999), Introduction to Real Analysis, 3rd Edition (Example 5.1.6 (h)). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4
• Template:En Spivak, M. Calculus on manifolds. 1965. Perseus Books. ISBN 0-8053-9021-9
• Template:En Abbot, Stephen. Understanding Analysis. Berlin: Springer, 2001. ISBN 0-387-95060-5