Funzione antiolomorfa

Template:F In matematica, le funzioni antiolomorfe (chiamate anche funzioni antianalitiche) sono una famiglia di funzioni strettamente collegate alle funzioni olomorfe ma distinte da quest'ultime.

Una funzione $f$ definita in un insieme aperto $A$ nel piano complesso è detta antiolomorfa se è derivabile in senso reale (vale a dire, se $\mathrm{\Re }(f)$ e $\mathrm{\Im }(f)$ sono funzioni reali derivabili) e la sua derivata rispetto a $z$ è identicamente nulla in $A$. Questa definizione si contrappone ad una delle definizioni equivalenti di funzione olomorfa, dove viene richiesto che $f$ sia derivabile in senso reale e la sua derivata rispetto a $\overline{z}$ sia nulla.

Dalla relazione $\frac{\overline{\partial f}}{\partial z}=\frac{\partial \overline{f}}{\partial \overline{z}}$ segue che $f$ è antiolomorfa se e solo se $\overline{f}$ è olomorfa.

Osserviamo che se $g(z)$ è una funzione olomorfa in un insieme aperto $D$, allora $f(z):=g(\overline{z})$ è una funzione antiolomorfa in $\overline{D}$, dove $\overline{D}$ è la riflessione rispetto all'asse x dell'insieme $D$; in altre parole, $\overline{D}$ è l'insieme dei complessi coniugati degli elementi di $D$. Quindi ogni funzione antiolomorfa può essere ottenuta in questo modo partendo da una funzione olomorfa. Ciò implica che una funzione è antiolomorfa se e solo se può essere espansa in serie di potenze nella variabile $\overline{z}$ in un intorno di ogni punto del suo dominio.

Se una funzione è sia olomorfa che antiolomorfa allora è costante in ogni componente connessa del suo dominio. Per definizione, una funzione che dipenda sia da $z$ che da $\overline{z}$ non può essere olomorfa né antiolomorfa.

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