Forza di mortalità

La forza di mortalità (nota anche come tasso istantaneo di mortalità) è una grandezza della matematica attuariale che si ottiene calcolando il limite per h che tende a zero del quoziente di mortalità.

Per definizione, è noto che la probabilità affinché una testa di età x muoia entro l'età x+dx è data da:

$\mu dx=\frac{l(x)-l(x+dx)}{l(x)}=-\frac{l(x+dx)-l(x)}{l(x)}$

Se per ipotesi si considera $l(x)$ derivabile e con derivata prima continua, è possibile, commettendo un errore a meno di infinitesimi di ordine superiore a dx, approssimare l'incremento a numeratore con il differenziale della funzione $l(x)$, pari a $l^{\prime }(x)$ $dx$.

Quindi:

$\mu dx=-\frac{l^{\prime }(x)}{l}\cdot dx$

dove:

$\mu =-\frac{l^{\prime }(x)}{l(x)}=-\frac{d}{dx}\log l(x)$

Il significato della seguente espressione è fondamentale: commettendo un errore a meno di infinitesimi di ordine superiore a dx, la probabilità di morire entro un intervallo dx è proporzionale a dx.

Dalla forza di mortalità si può agevolmente passare alla legge di sopravvivenza $l_x$.

Infatti, integrando l'equazione precedente in un intervallo compatto [0,x] si ottiene:

$[\log l{]}_0^x=-\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mu dt$

Sfruttando le proprietà dei logaritmi, si può riscrivere l'equazione come:

$\log \frac{l}{l_0}=-\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mu dt$

E quindi:

$l_x=l_0{\mathrm{e}}^{-\underset{0}{\overset{x}{\int }}\mu dt}$

Bibliografia

Lezioni di matematica e tecnica attuariale, R. Cultrera

Voci correlate

• Tavola di mortalità
• Funzione di Gompertz-Makeham