Formula di camminamento

Template:F La formula di camminamento consente di calcolare l'area di una qualsiasi figura piana di $n$ lati non curvi. È una formula che snellisce i tempi di calcolo di un'area di una figura avente un numero elevato di lati, evitando di utilizzare il sistema per triangolazione.

Per applicare questa formula è necessario conoscere:

• $n-1$ lati del poligono;
• $n-2$ angoli compresi tra gli $n-1$ lati noti.

Siano:

• $L_i$ il lato $i$-esimo del poligono, con $i=2,\dots ,n-1;$
• $L_j$ il lato $j$-esimo del poligono, con $j=1,\dots ,n-2;$
• ${\alpha }_h$ l'angolo interno $h$-esimo del poligono, con $h=j,\dots ,n.$

La formula è

$A=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^{n-2}[\sum _{i=j+1}^{n-1}(-1{)}^{i+j+1}{L}_j{L}_i\sin \left(\sum _{h=j}^{i-1}{\alpha }_h\right)].$

La stessa formula può essere espressa in forma matriciale ed in particolare indicando con $k$ il numero dei lati noti ($k=n-1$), la versione matriciale compatta diviene:

$A=L_{1,k-1}^T\cdot \mathrm{\Lambda }\cdot L_{2,k},$

dove $L_{1,k-1}^T$ è il vettore riga contenente i primi $k-1$ lati, ossia

$L_{1,k-1}=\left[\begin{array}{c}{L}_1\\ ⋮\\ L_{k-1}\end{array}\right].$

Similmente $L_{2,k}$ è il vettore colonna le cui componenti in ordine rappresentano i lati del poligono partendo dal secondo fino al $k$-esimo, cioè

$L_{2,k}=\left[\begin{array}{c}{L}_2\\ ⋮\\ L_k\end{array}\right].$

Infine $\mathrm{\Lambda }$ è una matrice triangolare superiore di ordine $k-1.$ In particolare lungo la diagonale principale sono disposti in ordine i valori dei seni degli angoli noti, mentre risulteranno nulli tutti i termini al di sotto della diagonale principale. Al di sopra di quest'ultima i termini della matrice sono espressi dalla seguente relazione:

${\mathrm{\Lambda }}_{i,j}=(-1{)}^{i+j}\sin \left(\sum _{h=i}^j{\alpha }_h\right).$

Complessivamente la matrice è così definita:

$\mathrm{\Lambda }=\left[\begin{array}{ccccc}\sin {\alpha }_1& -\sin ({\alpha }_1+{\alpha }_2)& \cdots & \cdots & (-1{)}^k\sin ({\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_{k-1})\\ 0& \sin {\alpha }_2& \cdots & \cdots & (-1{)}^{k+1}\sin ({\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_{k-1})\\ ⋮& 0& \ddots & ⋮& ⋮& \\ ⋮& ⋮& 0& {\mathrm{\Lambda }}_{i,j}& ⋮& \\ 0& 0& 0& 0& \sin {\alpha }_{k-1}\end{array}\right].$