Formula di Erlang B

Nella teoria dei sistemi a coda Erlang B è la probabilità di blocco in un sistema a pura perdita cioè senza possibilità di accomodamento in coda. Essa esprime la probabilità che un cliente (o più in generale una richiesta di servizio) in arrivo in un sistema con m serventi e senza possibilità di accodamento venga rifiutato in quanto tutti i serventi sono occupati.

Descrizione

Tale probabilità è funzione del numero di serventi m e del traffico offerto A erlang ed è data da:

$E_B(m,A)=\frac{A^m}{m!}{\left(\sum _{i=0}^m\frac{A^i}{i!}\right)}^{-1}.$

La formula in formato compatto è di difficile computazione e viene offerta generalmente in forma tabulata. Più algoritmicamente aggredibile è il formato ricorsivo:

$E_B(0,A)=1$

$E_B(m,A)=\frac{A{E}_B(m-1,A)}{m+A{E}_B(m-1,A)}$

dove:

• E_B è la probabilità di blocco
• m è il numero di risorse
• A è il traffico offerto in erlang

L'ipotesi sottostante alla distribuzione Erlang B è che il processo sia a perdita: una richiesta ricevuta e non soddisfatta viene persa.

Tale formula è utilizzata per dimensionare il numero di linee in uscita da un centralino telefonico al fine di garantire una probabilità di blocco inferiore a una soglia desiderata per un certo valore di traffico offerto.

Il nome Erlang B è in onore dell'ingegnere danese Agner Krarup Erlang che ha studiato per primo queste problematiche relative al traffico agli inizi del XX secolo.

Generalizzazione per valori reali di m

In certi casi, tipicamente in fase di dimensionamento, può essere utile disporre di una formula che consente il calcolo per valori di m reali (ovviamente positivi):

$E_B(m,A)={(A\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-At}(1+t{)}^{m}dt)}^{-1}$

Dalla Erlang B alla Gamma alla Dirichlet

Se si hanno k indipendenti v.c. casuali distribuite ciascuna come una variabile casuale Gamma con un parametro comune a tutti e unitario e un parametro individualizzato (si tratta dunque di v.c. dette Erlang B, ciascuna con il proprio parametro)

$Y_i\sim \mathrm{Gamma}(1,{\alpha }_i)$

definendo la loro somma come

$V=\sum _{i=1}^k{Y}_i\sim \mathrm{Gamma}(1,\sum _{i=1}^k{\alpha }_i),$

allora si ha che

$(X_1,\dots ,X_k)=(Y_1/V,\dots ,Y_k/V)\sim \mathrm{D}\mathrm{i}{\mathrm{r}}_{\mathrm{k}}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k).$

dove Dir_k è una variabile casuale di Dirichlet.

Voci correlate

• Erlang (unità di misura)
• Formula di Erlang C
• Variabile casuale Erlanghiana
• Agner Krarup Erlang
• Variabile casuale di Dirichlet

Collegamenti esterni

• Template:Cita web
• Introduzione alla Erlang B e C scritto da Ian Angus (PDF Document - in inglese)