Formula di Bretschneider

Un quadrilatero.

In geometria, la formula di Bretschneider per il calcolo dell'area di un quadrilatero corrisponde alla seguente espressione:

$A=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}$

Dove a, b, c, d sono i lati del quadrilatero, p è il semiperimetro, $\alpha$ e $\gamma$ sono i due angoli opposti.

La scoperta di tale formula si deve al matematico tedesco Carl Anton Bretschneider nel 1842. La formula di Bretschneider funziona per ogni quadrilatero, a prescindere dal fatto che esso sia ciclico o meno.

Dimostrazione

Indichiamo con A l'area del quadrilatero. Allora abbiamo

$\begin{array}{cc}A& =\mathrm{Area}(\stackrel{△}{ADB})+\mathrm{Area}(\stackrel{△}{BDC})=\\ & =\frac{ad\sin \alpha }{2}+\frac{bc\sin \gamma }{2}\end{array}$

Perciò

$4A^2=(ad{)}^2{\sin }^2\alpha +(bc{)}^2{\sin }^2\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .$

Il teorema del coseno implica che

$a^2+d^2-2ad\cos \alpha =b^2+c^2-2bc\cos \gamma ,$

poiché entrambi i lati sono uguali al quadrato della lunghezza della diagonale BD. Ciò può essere riscritto nella forma

$\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2}{4}=(ad{)}^2{\cos }^2\alpha +(bc{)}^2{\cos }^2\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .$

Sostituendo questo nella formula di sopra per $4A^2$, si ottiene

$4A^2+\frac{(b^2+c^2-a^2-d^2{)}^2}{4}=(ad{)}^2+(bc{)}^2-2abcd\cos (\alpha +\gamma ).$

Questo può essere scritto come

$16A^2=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).$

Introducendo il semiperimetro

$p=\frac{a+b+c+d}{2},$

la formula sopra diventa

$16A^2=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-16abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

da cui segue la formula di Bretschneider.

Formule affini

La formula di Bretschneider generalizza la formula di Brahmagupta per l'area di un quadrilatero ciclico, la quale a sua volta generalizza la formula di Erone per l'area di un triangolo. Si nota infatti che, per un quadrilatero ciclico, l'argomento del coseno è $\frac{\alpha +\gamma }{2}=\frac{\pi }{2}$, quindi il coseno è nullo e il secondo termine del radicando scompare.

Collegamenti esterni

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