Formula Chen

La formula di Chen è un metodo semplificato per la determinazione della degradazione delle prestazioni in fibra ottica a singolo modo a causa della GVD (dispersione velocità di gruppo). La degradazione delle prestazioni viene indicata tramite il parametro ECP (Eye Closure Penality) e la formula di Chen l'approssima a:

$ECP=-10lo{g}_{10}\left(cos\left(\frac{{\pi }^2}{2}{R}^2\frac{d^2\beta ({\omega }_0)}{d{\omega }^2}L\right)\right)$

dove

$R$ - bit rate
${\omega }_0$ - pulsazione della portante ottica
$L$ - lunghezza della fibra
$\beta (\omega )$ - fase della risposta in frequenza della fibra ottica

Dimostrazione

La sequenza più distorta in fibra ottica a casa della GVD è la sequenza 10101010(...). Supponendo che il campo elettrico in ingresso alla fibra sia approssimabile ad

$E_i(t)=\frac{(1+cos({\omega }_{c}t))}{2}$

con ${\omega }_c=\pi R$. Se questo segnale viene inviato in back2back ad una ricevitore con fotodiodo ed un filtro elettrico passabasso di banda circa R otteniamo una corrente prima del filtro:

$I(t)=R_s|E_i(t){|}^2=R_s\frac{(1+2cos({\omega }_{c}t)+cos({\omega }_{c}t{)}^2))}{4}$

con $R_s$ la Responsivity del fotodiodo

La corrente dopo il filtro:

$I(t)=R_s(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}cos({\omega }_{c}t))$

Se andiamo a valutare l'apertura dell'occhio ${\theta }_B$ per tale segnale otteniamo che

${\theta }_B=R_s$

Se ora si rivaluta lo stesso segnale inviato lungo una fibra lunga L e con risposta in frequenza data dall'equazione lineari di Schroendiger arrestata al secondo ordine:

$H_{LP}(\omega )=e^{-j\varphi (\omega )}\varphi (\omega )=\frac{{\omega }^2}{2}\frac{d^2\beta ({\omega }_0)}{d{\omega }^2}L$

Il campo ricevuto sarà:

$E_o(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}{e}^{j({\omega }_{c}t-\varphi ({\omega }_c))}+\frac{1}{4}{e}^{-j({\omega }_{c}t+\varphi (-{\omega }_c))}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}{e}^{j({\omega }_{c}t-\varphi ({\omega }_c))}+\frac{1}{4}{e}^{-j({\omega }_{c}t+\varphi ({\omega }_c))}$

con corrente elettrica prima del filtro:

$I(t)=\frac{R_s}{4}(1+cos({\omega }_{c}t)e^{j\varphi ({\omega }_c)})(1+cos({\omega }_{c}t)e^{-j\varphi ({\omega }_c)})$

e dopo il filtro:

$I(t)=R_s(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}cos(\varphi ({\omega }_c))cos({\omega }_{c}t))$

Con un occhio

$\theta =R_{s}cos(\varphi ({\omega }_c))$

Dalla definizione di ECP:

$ECP=10lo{g}_{10}\left(\frac{{\theta }_b}{\theta }\right)=-10lo{g}_{10}(cos(\varphi ({\omega }_c)))=-10lo{g}_{10}\left(cos\left(\frac{{\omega }_c^2}{2}\frac{d^2\beta ({\omega }_0)}{d{\omega }^2}L\right)\right)=-10lo{g}_{10}\left(cos\left(\frac{{\pi }^2}{2}{R}^2\frac{d^2\beta ({\omega }_0)}{d{\omega }^2}L\right)\right)$

Validità

La formula di Chen, approssimando la transizione dei bit ad una sinusoide, ha validità solo per $\varphi ({\omega }_c)<<\pi /2$, in quanto valori ulteriori reinfaserebbero la sinusoide facendo decadere il modello matematico. Per un calcolo migliore dell'ECP per qualsiasi valore di fase, e tenendo anche conto del chirp, si può approssimare la transizione di bit ad impulsi gaussiani.

Bibliografia

• Template:EnGovind P. Agrawal Fiber Optic Communication Systems. Wiley Series in Microwave and Optical Engineering, Kai Chang Series Editor (2002).

Voci correlate

• Fibra ottica
• Dispersione ottica
• Velocità di gruppo