Fase di Berry

Template:F La fase di Berry, introdotta dal fisico britannico Michael Berry, è la fase acquistata da uno stato quantistico a seguito di una variazione adiabatica ciclica dell'Hamiltoniana descrivente la dinamica del sistema. Tale fase è anche detta fase geometrica poiché dipende dalla geometria dello spazio degli stati quantistici per il sistema in esame, in contrapposizione alla fase dinamica che è acquistata da un autostato della Hamiltoniana durante la sua evoluzione temporale, dettata dalla soluzione dell'equazione di Schrödinger.

Definizione

Si consideri un sistema descritto da un'Hamiltoniana $𝐻$ e da uno stato quantistico $|\psi ⟩$. Supponiamo che $𝐻$ dipenda da un parametro λ reale e che esso vari nel tempo. Partendo da una situazione iniziale che vede il sistema nell'm-esimo autostato dell'Hamiltoniana $𝐻(\lambda (t_0))$, se la variazione del parametro è sufficientemente lenta, il teorema adiabatico stabilisce che a un tempo successivo t il sistema si troverà ancora nell'm-esimo autostato della nuova Hamiltoniana $\mathrm{H}(\lambda (t))$.

In formule:

$|\psi (t)⟩=e^{i\theta (t)}|\psi (t_0)⟩=e^{i\theta (t)}|m(t_0)⟩=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(\frac{i}{\hslash }\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{E}_m(\lambda (t^{\prime }))\mathrm{d}{t}^{\prime }\left)e^{i\gamma (t)}\right|m(t_0)⟩$,

dove nell'ordine sono stati usati il teorema adiabatico, la condizione iniziale e una conveniente riscrittura della fase acquistata per distinguere il contributo dinamico da quello geometrico $\gamma (t)$; quest'ultimo definisce la fase di Berry.

Spin in campo magnetico

Per come è stata qui definita, la fase di Berry è un semplice artificio formale, dato che non è garantito che essa sia diversa da zero per qualche reale sistema fisico. Un esempio concreto in cui tale fase si manifesta si ottiene considerando una particella di spin $l$ interagente in un campo magnetico $B$. L'Hamiltoniana di tale interazione è data da

$𝐻=\alpha \overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{B}$,

dove $\alpha$ è una costante opportuna, $\overrightarrow{S}$ è lo spin della particella e $\overrightarrow{B}$ il campo; in questo caso, il campo viene considerato come il parametro per l'Hamiltoniana. Supponiamo che all'inizio esso sia parallelo all'asse $z$ e che il sistema si trovi nell'autostato di $S_z$ relativo all'autovalore $m\hslash$ (che è anche autostato dell'energia); si può dimostrare allora che la fase di Berry del campo associata a un cammino chiuso $C$ è data da

$\gamma (C)=m\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }\frac{\mathrm{d}B}{B^2}=m\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Sigma })$

dove $\mathrm{\Sigma }$ è una superficie che ha $C$ come frontiera, e si è indicato con $\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Sigma })$ l'angolo solido di tale superficie.

Applicazioni

La fase di Berry è stata utilizzata per descrivere l'effetto Aharonov-Bohm e l'effetto Jahn-Teller.

Voci correlate

• Effetto Aharonov-Bohm
• Curvatura di Berry